11. Movimiento y Antiderivadas | Cálculo Diferencial

Prediciendo el Futuro

En Física, a menudo memorizamos fórmulas como $d = vt$ o $h = \frac{1}{2}gt^2$ . Pero, ¿de dónde vienen?

Vienen de una verdad fundamental: La posición es la integral de la velocidad, y la velocidad es la integral de la aceleración.

Aceleración

a(t)

Integrar

Velocidad

v(t) = \int a(t) dt

Integrar

Posición

s(t) = \int v(t) dt

Simulador de Caída Libre

En la Tierra, la aceleración es constante: $a(t) = -9.8$ .
Al integrar, surgen constantes ( $C$ ) que llamamos Condiciones Iniciales: la velocidad inicial ( $v_0$ ) y la altura inicial ( $s_0$ ).

s(t) = -4.9t² + 20t + 0

Altura Máx: 20.4 m

Simulador de Lanzamiento

Ajusta las Condiciones Iniciales.
La gravedad $g = -9.8$ es constante, pero tú decides cómo empieza el movimiento.

Velocidad Inicial (v₀)20 m/s

Altura Inicial (s₀)0 m

Tiempo de vuelo: 4.08 s
Velocidad de impacto: 20.0 m/s

La Derivación Mágica:

Empieza con: $a(t) = -9.8$
Integra: $v(t) = -9.8t + C_1$ (Donde $C_1 = v_0$ )
Integra de nuevo: $s(t) = -4.9t^2 + v_0t + C_2$ (Donde $C_2 = s_0$ )

Problemas de Valor Inicial (PVI)

En matemáticas avanzadas, esto se llama resolver una Ecuación Diferencial con condiciones iniciales.

¿Por qué necesitamos v₀ y s₀?

La integral nos da la "forma" del movimiento (una parábola), pero no nos dice dónde ocurre ni cuándo empieza.

Las condiciones iniciales "anclan" esa forma abstracta a la realidad física de nuestro problema específico. Sin ellas, tendríamos infinitos universos posibles (la familia de antiderivadas).

Misión de Control

1. Aceleración Variable

Una partícula se mueve en línea recta con una aceleración que aumenta con el tiempo: $a(t) = 6t$ m/s².
Sabemos que parte del reposo ( $v(0)=0$ ) desde la posición $s(0)=2$ metros. Encuentra su posición a los 2 segundos.

Ver Procedimiento

Paso 1: Hallar Velocidad

$v(t) = \int 6t \, dt = 3t^2 + C_1$ .
Como $v(0)=0$ , entonces $C_1 = 0$ . ➔ $v(t) = 3t^2$ .

Paso 2: Hallar Posición

$s(t) = \int 3t^2 \, dt = t^3 + C_2$ .
Como $s(0)=2$ , entonces $C_2 = 2$ . ➔ $s(t) = t^3 + 2$ .

Paso 3: Evaluar en t=2

$s(2) = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$ .

Respuesta: 10 metros.

CONTEXTO PISA / EXPLORACIÓN ESPACIAL

Aterrizaje en Marte

Un módulo de aterrizaje desciende verticalmente en Marte, donde la gravedad es $g_{\text{marte}} \approx -3.7 \text{m / s}^2$ .

A una altura de 100 metros, los motores se apagan accidentalmente. En ese instante, el módulo descendía a 2 m/s.

Alerta Crítica: El tren de aterrizaje solo soporta impactos de hasta 25 m/s. ¿Sobrevivirá la tripulación el impacto?

Telemetría

Aceleración:-3.7 m/s²
Velocidad Inicial:-2 m/s (bajando)
Altura Inicial:100 m

Ejecutar Simulación de Impacto

1. Ecuación de Posición:

$s(t) = \frac{-3.7}{2}t^2 - 2t + 100 = -1.85t^2 - 2t + 100$

2. Tiempo de Impacto (s=0):

Usando la fórmula cuadrática para $-1.85t^2 - 2t + 100 = 0$ :
$t \approx 6.83 \text{ s}$ (descartamos el tiempo negativo).

3. Velocidad Final:

$v(t) = -3.7t - 2$
$v(6.83) = -3.7(6.83) - 2 \approx -27.27 \text{ m/s}$

¡Fallo Estructural!

Velocidad de impacto 27.3 m/s > Límite 25 m/s.