11. Movimiento y Antiderivadas | Cálculo Diferencial

Para empezar

Un balón hacia arriba

Cuando lanzas un balón hacia arriba, sube cada vez más despacio, se detiene un instante y cae cada vez más rápido. Lo único que no cambia (sin contar el aire) es la aceleración de la gravedad: unos 9,8 m/s² hacia abajo.

Con ese solo número, y cómo lo lanzaste, se puede saber dónde está el balón en cada instante: antiderivando dos veces. Míralo.

Momento animado

De la aceleración a la altura

Etapa 1 de 4 · Sube

Lanzas un balón hacia arriba a 20 m/s (sin contar el aire). La gravedad le quita 9,8 m/s cada segundo:

a = -9{,}8

. La velocidad baja en línea recta.

t = 0,00 s · h = 0,00 m · v = 20,00 m/s · a = −9,8 m/s²

Prediciendo el Futuro

En Física, a menudo memorizamos fórmulas como $d = vt$ o $h = \frac{1}{2}gt^2$ . Pero, ¿de dónde vienen?

Vienen de una verdad fundamental: La posición es la integral de la velocidad, y la velocidad es la integral de la aceleración.

Aceleración

a(t)

Integrar

Velocidad

v(t) = \int a(t) dt

Integrar

Posición

s(t) = \int v(t) dt

Simulador de Caída Libre

En la Tierra, la aceleración es constante: $a(t) = -9{,}8$ .
Al integrar, surgen constantes ( $C$ ) que llamamos Condiciones Iniciales: la velocidad inicial ( $v_0$ ) y la altura inicial ( $s_0$ ).

Laboratorio

Simulador de lanzamiento

La aceleración, $-9{,}8\ \text{m/s}^2$ , no cambia. Tú decides cómo empieza el movimiento: la velocidad inicial $v_0$ y la altura inicial $s_0$ .

$s(t) = -4{,}9t^2 + 20t$ (m, con t en s)
Altura máxima
Toca el suelo

Velocidad inicial,

v_0

20 m/s

Altura inicial,

s_0

0 m

Altura máxima

20,4 m

t = \tfrac{v_0}{9{,}8} \approx 2{,}04

s, cuando

v = 0

Tiempo de vuelo

4,08 s

Llega al suelo a 20,0 m/s

La velocidad es la derivada de la posición: v(t) = −9,8t + 20. Se anula en la cima (t ≈ 2,04 s), y al tocar el suelo vale −20,0 m/s (hacia abajo).

La Derivación Mágica:

Empieza con: $a(t) = -9{,}8$
Integra: $v(t) = -9{,}8t + C_1$ (Donde $C_1 = v_0$ )
Integra de nuevo: $s(t) = -4{,}9t^2 + v_0t + C_2$ (Donde $C_2 = s_0$ )

Problemas de Valor Inicial (PVI)

En matemáticas avanzadas, esto se llama resolver una Ecuación Diferencial con condiciones iniciales.

¿Por qué necesitamos v₀ y s₀?

La integral nos da la "forma" del movimiento (una parábola), pero no nos dice dónde ocurre ni cuándo empieza.

Las condiciones iniciales "anclan" esa forma abstracta a la realidad física de nuestro problema específico. Sin ellas, tendríamos infinitos universos posibles (la familia de antiderivadas).

Ejemplo resuelto

Dos antiderivadas y dos datos

Un objeto tiene aceleración

a(t) = 6t - 4

m/s², velocidad inicial

v(0) = 1

m/s y posición inicial

s(0) = 2

m. Halla

s(t)

y dónde está a los 2 s.

1
Antideriva la aceleración
$v(t) = 3t^2 - 4t + C_1$
2
El primer dato fija la primera constante
$\begin{aligned} v(0) &= C_1 = 1 \\ v(t) &= 3t^2 - 4t + 1 \end{aligned}$
3
Antideriva la velocidad
$s(t) = t^3 - 2t^2 + t + C_2$
4
El segundo dato fija la segunda
$\begin{aligned} s(0) &= C_2 = 2 \\ s(t) &= t^3 - 2t^2 + t + 2 \end{aligned}$
5
Evalúa
$\begin{aligned} s(2) &= 8 - 8 + 2 + 2 = 4 \text{ m} \\ v(2) &= 12 - 8 + 1 = 5 \text{ m/s} \end{aligned}$

Cada antiderivada trae su propia constante, y cada una se fija con un dato distinto: la velocidad inicial y la posición inicial.

Misión de Control

1. Aceleración Variable

Una partícula se mueve en línea recta con una aceleración que aumenta con el tiempo: $a(t) = 6t$ m/s².
Sabemos que parte del reposo ( $v(0)=0$ ) desde la posición $s(0)=2$ metros. Encuentra su posición a los 2 segundos.

Ejercicio interactivo: Aceleración Variable

Dada $a(t) = 6t\text{ m/s}^2$ , con reposo inicial $v(0)=0$ y posición inicial $s(0)=2\text{ m}$ , ¿cuál es la posición a los 2 segundos?

CONTEXTO TIPO PISA / EXPLORACIÓN ESPACIAL

Aterrizaje en Marte

Un módulo de aterrizaje desciende verticalmente en Marte, donde la gravedad es $g_{\text{marte}} \approx -3{,}7 \text{m / s}^2$ .

A una altura de 100 metros, los motores se apagan accidentalmente. En ese instante, el módulo descendía a 2 m/s.

Alerta Crítica: El tren de aterrizaje solo soporta impactos de hasta 25 m/s. ¿Sobrevivirá la tripulación el impacto?

Telemetría

Aceleración:-3,7 m/s²
Velocidad Inicial:-2 m/s (bajando)
Altura Inicial:100 m

Simulación de Impacto: Diagnóstico Estructural

Con $g = -3{,}7\text{ m/s}^2$ , $h_0 = 100\text{ m}$ , y $v_0 = -2\text{ m/s}$ , ¿a qué velocidad impacta el módulo y cuál es el veredicto para el tren (máx 25 m/s)?

Ejercicio 3: Lo más alto

Un balón se lanza hacia arriba desde el suelo a 20 m/s:

h(t) = 20t - 4{,}9t^2

. ¿Qué altura máxima alcanza?

Ejercicio 4: De la aceleración a la velocidad

Un objeto tiene aceleración

a(t) = 6t

m/s² y empieza con velocidad

v(0) = 2

m/s. ¿Cuál es

v(t)

Ejercicio 5: ¿Cuándo vuelve al suelo?

Con

h(t) = 20t - 4{,}9t^2

, ¿cuándo vuelve el balón al suelo?

Ejercicio 6: La velocidad al llegar

¿Con qué velocidad llega el balón al suelo, a los 4,08 s?