10. Antiderivadas | Cálculo Diferencial

Reconstruyendo la Escena del Crimen

Hasta ahora, hemos sido "destructores": tomábamos una función compleja y la reducíamos a su pendiente instantánea (derivada).

Ahora jugaremos al detective. Te daré las huellas (la velocidad, la tasa de cambio) y tú debes reconstruir al sospechoso (la función original). A este proceso lo llamamos Antiderivación o Integración Indefinida.

La Notación

\int f(x) \, dx = F(x) + C

Símbolo IntegralIntegrandoAntiderivadaConstante

¿Por qué '+ C'?

Si te digo que la velocidad de un coche es $2x$ , ¿sabes dónde está? No exactamente. Podría haber empezado en el kilómetro 0, o en el 100.

La derivada destruye la información sobre la posición inicial (las constantes se vuelven cero). Al integrar, debemos reconocer esa ignorancia añadiendo $+ C$ .

F(x) = x² + 0

Pendiente en x=1 es siempre 2

La Familia Infinita

Sabemos que la derivada es $2x$ .
Mueve el deslizador para cambiar $C$ .

Valor de C

Observa: La curva sube y baja, pero la inclinación (línea verde) NO cambia.
Por eso $\frac{d}{dx}(x^2 + C) = 2x$ siempre.

Reglas de Juego (Inversas)

Para derivar $x^n$ , bajábamos el exponente y restábamos 1.
Para integrar, hacemos exactamente lo opuesto en orden inverso:

Regla de la Potencia

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

(Para n ≠ -1)

Caso Especial (Logaritmo)

\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C

Porque la derivada de ln(x) es 1/x

Ojo Experto: Nunca olvides el $+C$ en una integral indefinida. Es el error más común (y el que más puntos cuesta en los exámenes). Sin la C, estás dando una sola solución cuando existen infinitas.

Práctica de Reconstrucción

1. Polinomio Inverso

Encuentra la antiderivada general de la función:

f(x) = 3x^2 + 4x - 5

Ver Solución Paso a Paso

Integramos término a término:

$\int 3x^2 dx = 3 \frac{x^3}{3} = x^3$
$\int 4x dx = 4 \frac{x^2}{2} = 2x^2$
$\int -5 dx = -5x$ (La derivada de $-5x$ es $-5$ )

Respuesta:

F(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + C

CONTEXTO PISA / FÍSICA FORENSE

El Frenazo

Un perito investiga un accidente. Sabe que el coche frenó con una desaceleración constante de $a(t) = -10 \text{ m/s}^2$ .

Las marcas de neumáticos indican que el coche recorrió 45 metros antes de detenerse por completo.

Misión: Usa antiderivadas para calcular a qué velocidad inicial ( $v_0$ ) iba el coche justo antes de pisar el freno.

Datos del Caso

Aceleración: $a(t) = -10$
Velocidad Final:0 m/s
Distancia Frenado:45 m

Ver Reconstrucción

1. Hallar Velocidad v(t):

Integramos la aceleración:

$v(t) = \int -10 dt = -10t + C_1$

En $t=0$ , $v=v_0$ , así que $C_1 = v_0$ .

2. Hallar Posición s(t):

Integramos la velocidad:

$s(t) = \int (-10t + v_0) dt = -5t^2 + v_0t$

(Asumimos posición inicial 0).

3. Resolver el Sistema:

El coche para cuando $v(t) = 0 \implies -10t + v_0 = 0 \implies t = v_0/10$ .
Sustituimos este tiempo en la posición (que sabemos es 45m):
$45 = -5(v_0/10)^2 + v_0(v_0/10)$
$45 = -0.05v_0^2 + 0.1v_0^2 = 0.05v_0^2$
$v_0^2 = 900 \implies v_0 = 30$

v_0 = 30 \text{ m/s} \approx 108 \text{ km/h}