10. Antiderivadas

Aprende a deshacer la derivada. Introducción a la integración indefinida y el misterio de la constante C.

Estudiar en la plataforma interactiva

Para empezar

Saber el ritmo no basta

El velocímetro dice a qué ritmo cambia tu posición en cada instante. Con eso se puede reconstruir el recorrido entero… menos una cosa: de dónde saliste. Dos personas con el mismo velocímetro, una en Bogotá y otra en Tunja, siguen recorridos paralelos.

Encontrar una función a partir de su derivada es antiderivar, y ese dato que falta es la constante CC. Mírala.

Momento animado

Muchas curvas, las mismas pendientes

-3-2-10123-4048

Etapa 1 de 4 · Las pendientes

Se sabe la pendiente de FF en cada punto: F′(x)=2xF'(x) = 2x. Cada rayita tiene esa inclinación: planas cerca de x=0x = 0, empinadas lejos.

Pendiente en x = −2: −4. En x = 0: 0. En x = 2: 4.

Reconstruyendo la Escena del Crimen

Hasta ahora, hemos sido "destructores": tomábamos una función compleja y la reducíamos a su pendiente instantánea (derivada).

Ahora jugaremos al detective. Te daré las huellas (la velocidad, la tasa de cambio) y tú debes reconstruir al sospechoso (la función original). A este proceso lo llamamos Antiderivación o Integración Indefinida.

La Notación

∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x) \, dx = F(x) + C
Símbolo IntegralIntegrandoAntiderivadaConstante

¿Por qué '+ C'?

Si te digo que la velocidad de un carro es 2x2x, ¿sabes dónde está? No exactamente. Podría haber empezado en el kilómetro 0, o en el 100.

La derivada destruye la información sobre la posición inicial (las constantes se vuelven cero). Al integrar, debemos reconocer esa ignorancia añadiendo +C+ C.

Laboratorio

La familia infinita

Todas estas curvas tienen la misma derivada, 2x2x. Mueve CC y mira la pendiente en x=1x = 1.

  • F(x)=x2F(x) = x^2
  • Las demás de la familia
  • Tangente en x = 1
C = 0

Altura en x = 1

1

F(1)=1+0F(1) = 1 + 0

Pendiente en x = 1

2

F′(1)=2⋅1F'(1) = 2 \cdot 1

Cambiar CC sube o baja la curva entera, pero no cambia su forma: en x=1x = 1 la pendiente sigue siendo 2. Por eso ddx(x2+C)=2x\tfrac{d}{dx}(x^2 + C) = 2x para cualquier CC, y la antiderivada de 2x2x se escribe x2+Cx^2 + C.

Reglas de Juego (Inversas)

Para derivar xnx^n, bajábamos el exponente y restábamos 1.
Para integrar, hacemos exactamente lo opuesto en orden inverso:

Regla de la Potencia

∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

(Para n ≠ -1)

Caso Especial (Logaritmo)

∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C

Porque la derivada de ln(x) es 1/x

Ojo Experto: Nunca olvides el +C+C en una integral indefinida. Es un error muy común (y cuesta puntos en los exámenes). Sin la C, estás dando una sola solución cuando existen infinitas.

Ejemplo resuelto

La distancia del bus a partir de su velocidad

Un bus sale de una estación con velocidad v(t)=1,2t−0,024t2v(t) = 1{,}2t - 0{,}024t^2 m/s (datos hipotéticos). Halla la distancia s(t)s(t) que lleva recorrida, si s(0)=0s(0) = 0.
  1. 1

    Antideriva término a término

    Se sube cada exponente en 1 y se divide entre el nuevo:
    s(t)=1,2⋅t22−0,024⋅t33+C=0,6t2−0,008t3+C\begin{aligned} s(t) &= 1{,}2 \cdot \frac{t^2}{2} - 0{,}024 \cdot \frac{t^3}{3} + C \\ &= 0{,}6t^2 - 0{,}008t^3 + C \end{aligned}
  2. 2

    Usa el dato para hallar C

    s(0)=0+C=0  ⟹  C=0s(0) = 0 + C = 0 \;\Longrightarrow\; C = 0
  3. 3

    Comprueba derivando

    s′(t)=1,2t−0,024t2=v(t)s'(t) = 1{,}2t - 0{,}024t^2 = v(t)
  4. 4

    Úsala

    A los 50 s llega a la siguiente estación: s(50)=0,6⋅2 500−0,008⋅125 000=500s(50) = 0{,}6 \cdot 2\,500 - 0{,}008 \cdot 125\,000 = 500 m.
Antiderivar da toda la familia +C+ C; el dato de partida escoge una. Derivar al final es la forma de comprobar.

Práctica de Reconstrucción

1. Polinomio Inverso

Encuentra la antiderivada general de la función:

f(x)=3x2+4x−5f(x) = 3x^2 + 4x - 5
Ejercicio interactivo: Antiderivada Polinomial

¿Cuál es la antiderivada general F(x)F(x) de la función f(x)=3x2+4x−5f(x) = 3x^2 + 4x - 5?

CONTEXTO TIPO PISA / FÍSICA FORENSE

El Frenazo

Un perito investiga un accidente. Sabe que el carro frenó con una desaceleración constante de a(t)=−10 m/s2a(t) = -10 \text{ m/s}^2.

Las marcas de neumáticos indican que el carro recorrió 45 metros antes de detenerse por completo.

Misión: Usa antiderivadas para calcular a qué velocidad inicial (v0v_0) iba el carro justo antes de pisar el freno.

Datos del Caso

  • Aceleración:a(t)=−10a(t) = -10
  • Velocidad Final:0 m/s
  • Distancia Frenado:45 m
Física Forense: Velocidad Antes de Frenar

¿A qué velocidad inicial v0v_0 iba el vehículo antes de activar la frenada de emergencia con a=−10 m/s2a = -10\text{ m/s}^2?

Ejercicio 3: Término a término
¿Cuál es la antiderivada general de 6x2−4x+56x^2 - 4x + 5?
Ejercicio 4: Un dato escoge la curva
Si F′(x)=2xF'(x) = 2x y F(1)=3F(1) = 3, ¿cuál es FF?
Ejercicio 5: ¿Cuál es antiderivada?
¿Cuál de estas funciones es una antiderivada de 3x23x^2?
Ejercicio 6: De la velocidad a la distancia
La velocidad de un bus es v(t)=1,2t−0,024t2v(t) = 1{,}2t - 0{,}024t^2 m/s, y a los 0 s lleva 0 m recorridos (datos hipotéticos). ¿Cuál es la distancia recorrida s(t)s(t)?