1. Máximos y Mínimos | Cálculo Diferencial

Para empezar

El punto más alto de la etapa

En el perfil de una etapa de ciclismo, como la subida al Alto de Letras, la carretera sube, llega a una cima y baja. Justo en la cima, por un instante, no sube ni baja: queda plana.

Ese instante plano es una tangente horizontal, $f'(x) = 0$ . Pero ojo: el punto más alto de toda la etapa puede no ser una cima, sino la meta. Míralo.

Momento animado

Donde la tangente se acuesta

Etapa 1 de 4 · Sube

El punto recorre la curva con su tangente verde. Mientras la curva sube, la pendiente es positiva: abajo, su gráfica va por encima del eje.

x: -2,00
f(x): 1,33
f′(x): 5,00

La curva sube: f′(x) > 0

El Alpinista Ciego

Imagina que estás escalando una montaña con los ojos vendados. ¿Cómo sabes que has llegado a la cima absoluta?

Mientras subes, tus pies sienten una inclinación (pendiente positiva). Cuando bajas, sientes el declive (pendiente negativa). Pero hay un instante mágico, justo en la cumbre, donde el suelo se siente perfectamente plano bajo tus botas.

"En los extremos (máximos o mínimos), el cambio se detiene momentáneamente."

En lenguaje matemático, esto significa que la recta tangente es horizontal. Es decir:

f'(c) = 0

Detectando Puntos Críticos

Llamamos Números Críticos a los valores de $x$ donde la derivada es cero (o no existe). Estos son nuestros "sospechosos" de ser máximos o mínimos.

Usa el escáner a continuación. Intenta encontrar los dos puntos donde la pendiente se vuelve cero ( $m=0$ ). Observa cómo la línea verde se aplana completamente.

Laboratorio

Escáner de cimas y valles

Mueve el punto y busca dónde la tangente queda horizontal: ahí $f'(x) = (x - 3)(x + 1) = 0$ .

$f(x) = \tfrac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 2$
Tangente en el punto
Puntos críticos

Posición del punto,

x

x = 0,5

Pendiente, $f'(x)$

-3,75

Altura, $f(x)$

0,2917

f'(0,5) = -3,75, no es 0: la tangente está inclinada y la curva baja. En una cima o un valle (donde f es derivable) la pendiente tendría que ser 0.

Máximo Local

Ocurre cuando la función deja de crecer y empieza a decrecer. La derivada cambia de $+$ a $-$ .

Mínimo Local

Ocurre cuando la función deja de caer y empieza a subir. La derivada cambia de $-$ a $+$ .

El Teorema de Fermat (y su trampa)

Pierre de Fermat descubrió una verdad fundamental: Si $f$ tiene un extremo local en $c$ y es diferenciable allí, entonces $f'(c) = 0$ .

¡Cuidado con la Trampa Lógica!

El teorema funciona en una dirección, pero NO garantiza la inversa.

Que la derivada sea cero $f'(c)=0$ no asegura que haya un máximo o mínimo.

Ejemplo:

f(x) = x^3

x=0

f'(0) = 3(0)^2 = 0

.
¡Pero

x=0

no es ni máximo ni mínimo! Es un punto de inflexión con tangente horizontal.

Ejemplo resuelto

Los extremos absolutos en un intervalo cerrado

Halla el máximo y el mínimo absolutos de

g(x) = x^3 - 12x

[-3, 3]

1
Deriva y busca los números críticos
$\begin{aligned} g'(x) &= 3x^2 - 12 \\ &= 3(x - 2)(x + 2) = 0 \\ x &= -2 \text{ o } x = 2 \end{aligned}$
2
Revisa que estén dentro del intervalo
Los dos están en $[-3, 3]$ .
3
Evalúa en los críticos y en los bordes
$\begin{aligned} g(-3) &= 9, & g(-2) &= 16 \\ g(2) &= -16, & g(3) &= -9 \end{aligned}$
4
Compara
El mayor valor es 16 y el menor, −16.

Máximo absoluto: 16, en

x = -2

. Mínimo absoluto: −16, en

x = 2

. Aquí ganan los críticos, pero los bordes siempre se revisan: en el momento animado, el máximo estaba en el borde.

Entrenamiento Práctico

1. Caza de Puntos Críticos

Encuentra los números críticos de la función polinómica:

f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 24x + 1

Pista: Deriva, iguala a cero y resuelve la cuadrática.

Ejercicio: Caza de Números Críticos

¿Cuáles son los números críticos de $f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 24x + 1$ ?

CONTEXTO TIPO PISA / INGENIERÍA

Eficiencia de Combustible

Un equipo de ingenieros navales ha determinado que el consumo de combustible $C(v)$ (en litros/hora) de un buque de carga depende de su velocidad $v$ (en nudos) según la fórmula:

$C(v) = \frac{v^3}{100} - 0{,}6v^2 + 12v$

Misión: Encuentra la velocidad $v$ que anula la tasa de cambio del consumo. Determina la velocidad crítica en el rango operativo.

Panel de Control

Función Objetivo: $C(v)$
Herramienta: $C'(v) = 0$
Velocidad Crítica:¿? nudos

Telemetría Naval: Diagnóstico de Eficiencia

¿Qué velocidad crítica $v$ anula la tasa de cambio del consumo de combustible?

Pregunta 3 · Máximo absoluto en un intervalo

¿Cuál es el máximo absoluto de

g(x) = x^3 - 12x

en el intervalo

[-3, 3]

Pregunta 4 · Un máximo sin tangente horizontal

¿Cuál es el máximo absoluto de

h(x) = x^2 - 4x + 1

[0, 5]

Pregunta 5 · El signo de la pendiente

La derivada de una función continua pasa de negativa a positiva en

x = c

. ¿Qué hay en

c

Pregunta 6 · No pierdas un crítico

¿Cuáles son los números críticos de

f(x) = x^4 - 2x^2