1. Máximos y Mínimos | Cálculo Diferencial

El Alpinista Ciego

Imagina que estás escalando una montaña con los ojos vendados. ¿Cómo sabes que has llegado a la cima absoluta?

Mientras subes, tus pies sienten una inclinación (pendiente positiva). Cuando bajas, sientes el declive (pendiente negativa). Pero hay un instante mágico, justo en la cumbre, donde el suelo se siente perfectamente plano bajo tus botas.

"En los extremos (máximos o mínimos), el cambio se detiene momentáneamente."

En lenguaje matemático, esto significa que la recta tangente es horizontal. Es decir:

f'(c) = 0

Detectando Puntos Críticos

Llamamos Números Críticos a los valores de $x$ donde la derivada es cero (o no existe). Estos son nuestros "sospechosos" de ser máximos o mínimos.

Usa el escáner a continuación. Intenta encontrar los dos puntos donde la pendiente se vuelve cero ( $m=0$ ). Observa cómo la línea verde se aplana completamente.

f(x) = x³/3 - x² - 3x + 2

Escáner de Cimas y Valles

Mueve el punto azul. Busca dónde la recta tangente se vuelve totalmente horizontal.

Pendiente (Derivada)m = -3.75

Posición x: 0.5

-2.54.5

Máximo Local

Ocurre cuando la función deja de crecer y empieza a decrecer. La derivada cambia de $+$ a $-$ .

Mínimo Local

Ocurre cuando la función deja de caer y empieza a subir. La derivada cambia de $-$ a $+$ .

El Teorema de Fermat (y su trampa)

Pierre de Fermat descubrió una verdad fundamental: Si $f$ tiene un extremo local en $c$ y es diferenciable allí, entonces $f'(c) = 0$ .

¡Cuidado con la Trampa Lógica!

El teorema funciona en una dirección, pero NO garantiza la inversa.

Que la derivada sea cero $f'(c)=0$ no asegura que haya un máximo o mínimo.

Ejemplo: f(x) = x³ en x=0.
f'(0) = 3(0)² = 0.
¡Pero x=0 no es ni máximo ni mínimo! Es un punto de inflexión (silla).

Entrenamiento Práctico

1. Caza de Puntos Críticos

Encuentra los números críticos de la función polinómica:

f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 24x + 1

Pista: Deriva, iguala a cero y resuelve la cuadrática.

Ver Solución Paso a Paso

Paso 1: Derivar

$f'(x) = 6x^2 - 18x - 24$

Paso 2: Igualar a Cero

$6(x^2 - 3x - 4) = 0$

Paso 3: Factorizar

$6(x - 4)(x + 1) = 0$

Respuesta: Los puntos críticos son x = 4 y x = -1.

CONTEXTO PISA / INGENIERÍA

Eficiencia de Combustible

Un equipo de ingenieros navales ha determinado que el consumo de combustible $C(v)$ (en litros/hora) de un buque de carga depende de su velocidad $v$ (en nudos) según la fórmula:

$C(v) = \frac{v^3}{100} - 0.6v^2 + 12v$

Misión: Encuentra la velocidad $v$ que minimiza o maximiza el consumo en el rango operativo. Para este ejercicio, determina si existe una velocidad crítica donde el cambio de consumo se detiene momentáneamente.

Panel de Control

Función Objetivo: $C(v)$
Herramienta: $C'(v) = 0$
Velocidad Crítica:¿? nudos

Ejecutar Diagnóstico

1. Derivamos la función de consumo:

$C'(v) = \frac{3v^2}{100} - 1.2v + 12$

2. Igualamos a cero (Fórmula Cuadrática):

Al resolver $0.03v^2 - 1.2v + 12 = 0$ , obtenemos:

v = 20 \text{ nudos}

(Raíz doble: el discriminante es cero)

Interpretación: A 20 nudos ocurre un punto de inflexión estacionario. En un caso real, analizaríamos la segunda derivada para confirmar si es un mínimo, máximo o punto silla.