9. Derivadas de Funciones Inversas | Cálculo Diferencial

¿Por qué necesitamos esto?

Hasta ahora sabes derivar $\sin(x)$ y $\tan(x)$ . Pero a menudo en física e ingeniería necesitamos "deshacer" estas operaciones para encontrar ángulos.

Si $y = \arcsin(x)$ , ¿cuánto vale $y'$ ? No necesitas memorizarlo si entiendes la lógica geométrica.

Espejo de Pendientes

La pendiente de la inversa es el recíproco de la original.

Relación Clave

m_{inv} = 1 / 2.00

Azul: Original
Rosa: Inversa

Controlar x:

Pendiente Original

2.00

Pendiente Inversa

0.50

Observa: Si la función original es empinada (pendiente grande), su inversa debe ser plana (pendiente pequeña), y viceversa. Son recíprocos.

Concepto Clave

"La derivada de la inversa es 1 dividido por la derivada de la función original, evaluada en el punto correspondiente."

La Estrategia Sherlock Holmes

Para encontrar la derivada de $y = \arcsin(x)$ , usamos un truco inteligente con Derivación Implícita (que aprendiste en la lección anterior).

Paso 1: Despeja la 'x'

No nos gusta el arco. Aplicamos seno a ambos lados:
$\sin(y) = x$

Paso 2: Deriva implícitamente

Derivamos respecto a $x$ . Recuerda la regla de la cadena para $y$ :
$\cos(y) \cdot y' = 1$

Paso 3: Despeja y'

y' = \frac{1}{\cos(y)}

Paso 4: El Triángulo (El Gran Final)

Tenemos la respuesta en términos de $y$ , pero la queremos en términos de $x$ .
Sabemos que $\sin(y) = x = \frac{Op}{Hip} = \frac{x}{1}$ .

Usando Pitágoras, el cateto adyacente es $\sqrt{1 - x^2}$ .
Por lo tanto, $\cos(y) = \frac{Adj}{Hip} = \sqrt{1 - x^2}$ .

Resultado Final (Arcoseno)

\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

El Trío Esencial

Usando el mismo método del triángulo, obtenemos las tres fórmulas que debes tener en tu arsenal. La del arcotangente es especialmente famosa porque no tiene raíz cuadrada.

Arcoseno

\frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Arcotangente

\frac{d}{dx}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}

¡Súper importante en integrales!

Arcosecante

\frac{d}{dx}\sec^{-1}(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}

Nota Curiosa: Las derivadas de las "co-funciones" (arcccos, arccot, arccsc) son idénticas a sus parejas pero con un signo negativo.
Ejemplo:

\frac{d}{dx}\arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Ejercicio de Práctica

Calcula la derivada de la función: $f(x) = \arctan(e^{2x})$ .

Pista: Necesitas combinar la fórmula de arcotangente con la Regla de la Cadena.

Ver Solución Paso a Paso

1. Identifica la función externa ( $\arctan(u)$ ) y la interna ( $u = e^{2x}$ ).

2. Derivada de externa: $\frac{1}{1+u^2}$ .

3. Derivada de interna: $e^{2x} \cdot 2$ .

4. Multiplica (Regla de la Cadena):

f'(x) = \frac{1}{1+(e^{2x})^2} \cdot 2e^{2x} = \frac{2e^{2x}}{1+e^{4x}}

Reto PISA

El Faro Giratorio

Un faro está situado a 3 km de la costa recta. El haz de luz del faro ilumina un punto $P$ en la costa.

Si $x$ es la distancia a lo largo de la costa desde el punto más cercano al faro hasta el punto $P$ , el ángulo $\theta$ que forma el haz de luz con la línea perpendicular a la costa está dado por:
$\theta = \arctan(\frac{x}{3})$

Pregunta: ¿Cuál es la tasa de cambio del ángulo $\theta$ con respecto a la distancia $x$ cuando el punto de luz está a 4 km del punto más cercano ( $x=4$ )?

Buscamos $\frac{d\theta}{dx}$ cuando $x=4$ .

Ver Análisis y Resultado

1. Modelo Matemático:

$\frac{d\theta}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \arctan(\frac{x}{3}) \right)$

2. Aplicar fórmula con Regla de la Cadena ( $u = x/3$ ):

$\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{1 + (x/3)^2} \cdot \frac{1}{3}$

3. Evaluar en $x=4$ :

\frac{1}{1 + (4/3)^2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{1 + 16/9} \cdot \frac{1}{3}

= \frac{1}{25/9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{9}{25} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{25} = 0.12

Interpretación: Por cada km extra que avanza la luz en la costa, el ángulo cambia 0.12 radianes. Observa que el cambio es menor cuanto más lejos está (si x fuera muy grande, la derivada tendería a 0).