9. Derivadas de Funciones Inversas | Cálculo Diferencial

Para empezar

El ángulo para ver la terraza

Caminas hacia un edificio de 30 m. Si estás a x metros de su base, el ángulo con el que miras la terraza es $\theta = \arctan\frac{30}{x}$ : la función inversa de la tangente te devuelve el ángulo.

¿A qué ritmo cambia ese ángulo mientras caminas? Para responder hay que derivar una función inversa. La idea clave: si una función sube con pendiente m, su inversa, que es su reflejo en la recta y = x, sube con pendiente 1/m.

Momento animado

Las pendientes de la arcotangente

Arriba, la tangente recorre y = arctan x. Abajo, cada pendiente se vuelve un punto. Dale «Reproducir» o arrastra x.

Tangente en x
Subida con avance 1 = pendiente = altura de abajo

Posición xx = -3,00

Etapas

Etapa 1 de 5 · x = −3

Lejos del origen la arcotangente casi no cambia: su pendiente es 1/(1 + 9) = 0,1. Abajo, el punto queda cerca del eje.

-3,00

f(x) = -1,25

Pendiente f′(x)

0,10

f sube

La idea

La pendiente de la inversa es la recíproca

La gráfica de una inversa es el reflejo de la original en la recta y = x. El reflejo cambia el avance por la subida, así que la pendiente se invierte: si f pasa por (a, b) con pendiente f′(a), su inversa pasa por (b, a) con pendiente $\frac{1}{f'(a)}$ . Muévelo en el espejo:

Laboratorio

Espejo de pendientes recíprocas

Mueve $x_0$ . El punto azul está en $f$ y su reflejo rojo, en la inversa. Compara las pendientes de las dos tangentes.

$f(x) = \tfrac{x^2}{2}$ , con $x \ge 0$
Su inversa, $f^{-1}(x) = \sqrt{2x}$
El espejo, y = x

Punto de control,

x_0

x₀ = 2

Pendiente de $f$ en $x_0$

f'(2) = 2

Pendiente de la inversa en $y_0$

≈ 0,500

\tfrac{1}{2}

El punto (2; 2) de $f$ se refleja en (2; 2). Las pendientes son recíprocas: $f'(x_0) \cdot (f^{-1})'(y_0) = 2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1$ . Donde $f$ sube empinada, su inversa sube suave.

Derivada de la inversa

\begin{gathered} \left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)} \\ \text{con } b = f(a) \text{ y } f'(a) \neq 0 \end{gathered}

Con esa idea, o con derivación implícita, salen las derivadas de las trigonométricas inversas:

\begin{aligned} (\arcsin x)' &= \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\ (\arccos x)' &= -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\ (\arctan x)' &= \frac{1}{1 + x^2} \end{aligned}

Las dos primeras valen para −1 < x < 1; la de la arcotangente, para todo x.

Ejemplo resuelto

De dónde sale 1/(1 + x²)

Deriva $y = \arctan x$ sin conocer la fórmula.

1
Escribe la relación sin la inversa
y = arctan x quiere decir que y es el ángulo cuya tangente es x, con −π/2 < y < π/2.
$\tan y = x$
2
Deriva los dos lados respecto a x
y depende de x: aparece y′ (regla de la cadena).
$\sec^2 y \cdot y' = 1$
3
Despeja
$y' = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y}$
4
Vuelve a x
Como tan y = x:
$y' = \frac{1}{1 + x^2}$

Practica

Inversas y sus pendientes

Usa la recíproca de la pendiente, la regla de la cadena o las tres fórmulas de las trigonométricas inversas.

Ejercicio 1 (tipo Saber 11): la pendiente del reflejo

Una función derivable cumple f(2) = 5 y f′(2) = 4. ¿Cuál es la pendiente de su inversa en el punto (5, 2)?

Ejercicio 2: la arcotangente en 1

¿Cuál es la pendiente de la tangente a

y = \arctan x

en x = 1?

Ejercicio 3: arcoseno con regla de la cadena

¿Cuál es la derivada de

y = \arcsin(2x)

Ejercicio 4: arcotangente de una exponencial

¿Cuál es la derivada de

f(x) = \arctan(e^{2x})

Reto tipo PISA: El faro giratorio

Un faro marítimo está ubicado en una plataforma a 3 km mar adentro de una costa recta. El haz gira iluminando un punto $P$ móvil en la orilla.

Si $x$ es la distancia a lo largo de la costa desde la perpendicular al faro hasta $P$ , el ángulo $\theta$ del haz está modelado geométricamente por:

\theta(x) = \arctan\left(\frac{x}{3}\right)

Pregunta tipo PISA: ¿Cuál es la tasa instantánea de rotación angular del haz por cada kilómetro recorrido a lo largo de la costa ( $\frac{d\theta}{dx}$ ) en el instante en que el haz está a 4 km ( $x = 4$ )?

Diagrama del haz trigonométrico