8. Derivación Implícita | Cálculo Diferencial

Más allá de f(x)

Hasta ahora, siempre hemos derivado funciones "explícitas" como $y = x^2$ . Pero en el mundo real, las variables suelen estar entrelazadas en relaciones.

Imagina un círculo: $x^2 + y^2 = 25$ . Si intentas despejar $y$ , obtienes dos funciones ( $\pm \sqrt{...}$ ). La derivación implícita nos permite encontrar la pendiente ( $dy/dx$ ) sin necesidad de despejar nada.

Curvas Implícitas: El Círculo

Ecuación: x² + y² = 9. Aquí 'y' no es una función de 'x' (falla la línea vertical).

Concepto Clave

"En derivación implícita, tratamos a 'y' como una función invisible de 'x'. Cada vez que derives algo con 'y', debes aplicar la Regla de la Cadena."

La Regla de Oro: d/dx(y)

El secreto es entender que $y$ es un atajo para $y(x)$ . Por lo tanto, cualquier operación sobre $y$ es una función compuesta.

Comparativa d/dx

Derivar respecto a x:

\frac{d}{dx}(x^2) = 2x

¡CUIDADO AQUÍ!

\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot \frac{dy}{dx}

"Cada vez que derives una expresión que contenga la letra 'y', escribe un $\frac{dy}{dx}$ (o $y'$ ) justo después como un rastro de la regla de la cadena."

Práctica de Cadena Implícita

Ejercicio 8.1

¿Cuál es la derivada de $\sin(y)$ respecto a $x$ ?

Ver Respuesta

\cos(y) \cdot y'

Ejercicio 8.2

Deriva $e^y$ respecto a $x$ .

Ver Respuesta

e^y \cdot y'

Algoritmo de Solución

Derivar

Deriva ambos lados de la ecuación respecto a x.

Agrupar

Mueve todos los términos que tengan dy/dx a un lado de la igualdad.

Factorizar

Saca dy/dx como factor común.

Despejar

Divide para dejar solo al dy/dx.

Ejemplo Maestro: El Círculo $x^2 + y^2 = 25$

1. Derivamos: $2x + 2y y' = 0$

2. Agrupamos: $2y y' = -2x$

3. Despejamos: $y' = \frac{-2x}{2y}$

y' = -\frac{x}{y}

Desafío PISA: Diseño de la "Órbita"

Un ingeniero está diseñando una pista de pruebas con forma de folium de Descartes, cuya ecuación es:

x^3 + y^3 = 6xy

Se necesita conocer la inclinación de la pista exactamente en el punto

(3, 3)

Tu Tarea

Encuentra el valor de la pendiente $dy/dx$ en el punto $(3, 3)$ .Pista: Usa la regla del producto para el término 6xy.

Ver Procedimiento de Ingeniería

1. Derivamos ambos lados:

3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'

2. Agrupamos términos con $y'$ :

3y^2 y' - 6x y' = 6y - 3x^2

3. Factorizamos:

y'(3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2

4. Evaluamos en $(3, 3)$ :

y'(3(3)^2 - 6(3)) = 6(3) - 3(3)^2

y'(27 - 18) = 18 - 27 \implies 9y' = -9

Resultado:

y' = -1

. La pista tiene una inclinación de 45° hacia abajo en ese punto.

¿Listo para el siguiente nivel? En la próxima lección veremos cómo aplicar esto para hallar derivadas de funciones inversas.