8. Derivación Implícita

Derivación rigurosa de ecuaciones implícitas donde 'y' está entrelazada con 'x', rectas tangentes y curvas geométricas famosas.

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Para empezar

La glorieta

Un carro que da la vuelta a una glorieta va siempre en la dirección de la tangente al borde. Si el borde es la circunferencia x2+y2=25x^2 + y^2 = 25, ¿cuál es esa dirección en cada punto?

Para derivar como hasta ahora habría que despejar y, y salen dos fórmulas: y=25−x2y = \sqrt{25 - x^2} para la mitad de arriba y y=−25−x2y = -\sqrt{25 - x^2} para la de abajo. La derivación implícita da la pendiente sin despejar, con una sola fórmula.

Momento animado

Lo que sube x² lo baja y²

El punto recorre x² + y² = 25. Dale «Reproducir» y mira las barras: los dos cambios siempre se cancelan.

x²y²cambiosx² + y² = 25
  • dx y el cambio de x²
  • dy y el cambio de y²
  • Tangente
(3,00; 4,00)
Etapas

Etapa 1 de 5 · (3; 4)

Arriba, la circunferencia es la gráfica de y = √(25 − x²). Un paso sobre la tangente cambia x², y y² cambia lo contrario: la suma sigue siendo 25. La pendiente es −3/4.

Punto

(3,00; 4,00)

arriba: y = √(25 − x²)

Pendiente dy/dx = −x/y

-0,75

la misma fórmula arriba y abajo
La idea

Derivar los dos lados, con y como función de x

Si el punto se queda sobre la curva, x2+y2x^2 + y^2 vale 25 en todo momento: su cambio total es 0. El cambio de x2x^2 es 2x dx2x\,dx y el de y2y^2 es 2y dy2y\,dy, porque y también cambia: es la regla de la cadena.

Derivación implícita de la circunferencia
ddx(x2+y2)=ddx(25)2x+2y dydx=0dydx=−xy\begin{gathered} \frac{d}{dx}\left(x^2 + y^2\right) = \frac{d}{dx}(25) \\ 2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0 \\ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \end{gathered}

Cada término con y, al derivarlo, lleva el factor dy/dx. La derivada queda con x y con y: se evalúa en el punto.

Arriba y abajo, la fórmula es la misma. En (3, 4) da −3/4, igual que derivar 25−x2\sqrt{25 - x^2}, y en (3, −4) da 3/4, igual que derivar −25−x2-\sqrt{25 - x^2}. La tangente es perpendicular al radio: pruébalo en el laboratorio.

Laboratorio 1: Curva Implícita x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 y Recta Tangente

Arrastra el punto sobre el círculo y observa cómo dydx=−xy\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} calcula la pendiente instantánea.

xy(3,0; 4,0)
Curva Implícita x2+y2=25x^2+y^2=25Recta Tangente y′y'
Ángulo del Punto (θ\theta):53,1°
Coordenada x0x_0:3,00
Coordenada y0y_0:4,00
Pendiente dydx=−xy\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}:-0,750
Ortogonalidad: La pendiente del radio es mrad=1,33m_{\text{rad}} = 1{,}33. Como mrad⋅mtan=−1m_{\text{rad}} \cdot m_{\text{tan}} = -1, ¡la recta tangente es siempre perpendicular al radio!
Ejemplo resuelto

Una curva que no se puede despejar fácil

Halla la pendiente de x2+xy+y2=7x^2 + xy + y^2 = 7 en el punto (1, 2).

  1. 1

    Comprueba que el punto está en la curva

    1+1⋅2+4=71 + 1\cdot 2 + 4 = 7
  2. 2

    Deriva cada término respecto a x

    xy es un producto: su derivada es y + x·dy/dx. Y y² trae el factor dy/dx.
    2x+(y+x y′)+2y y′=02x + \left(y + x\,y'\right) + 2y\,y' = 0
  3. 3

    Agrupa los términos con y′

    y′ (x+2y)=−(2x+y)y'\,(x + 2y) = -(2x + y)
  4. 4

    Despeja y evalúa en (1, 2)

    y′=−2x+yx+2y=−45y' = -\frac{2x + y}{x + 2y} = -\frac{4}{5}
Practica

Curvas sin despejar

Recuerda: cada término con y lleva su y′, y los productos de x por y usan la regla del producto.

Ejercicio 1: la mitad de abajo
¿Cuál es la pendiente de la tangente a x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 en el punto (3, −4)?
Ejercicio 2: un producto con y
¿Cuál es la derivada respecto a x del término x⋅yx\cdot y?
Ejercicio 3: términos mixtos
Para la curva y3−xy=2y^3 - xy = 2, ¿cuál es dydx\frac{dy}{dx}?
Ejercicio 4: pendiente en un punto
¿Cuál es la pendiente de x2+xy+y2=7x^2 + xy + y^2 = 7 en el punto (1, 2)?
Ejercicio 5 (tipo Saber 11): el folium de Descartes
La curva x3+y3=6xyx^3 + y^3 = 6xy se llama folium de Descartes. ¿Cuál es la pendiente de su tangente en el punto (3, 3)?