7. Aplicando la Regla de la Cadena

Los afinadores de guitarra toman como referencia la nota la de 440 Hz: vibra 440 veces por segundo, y es el estándar internacional de afinación. La quinta cuerda al aire da un la dos octavas más abajo, de 110 Hz. Mientras suena el la de 440 Hz, la presión del aire en tu oído sube y baja como una onda seno: $p(t) = A\sin(2\pi \cdot 440\,t)$.

Una octava más arriba la nota vibra 880 veces por segundo. Con la misma amplitud, ¿la presión cambia igual de rápido? No: la función de adentro avanza el doble de rápido, y la regla de la cadena dice que entonces todo el ritmo se duplica.

Lo que viste vale para cualquier función de adentro: la de afuera se deriva dejando quieta la de adentro, y se multiplica por lo rápido que avanza la de adentro. Para las potencias de una función sale un atajo que se usa todo el tiempo:

Lo difícil es reconocer las capas. En $\sin(x^2)$ la de afuera es el seno y la de adentro $x^2$: $y' = \cos(x^2)\cdot 2x$. En $\sin^2 x = (\sin x)^2$ es al revés: la de afuera es el cuadrado y la de adentro el seno, así que $y' = 2\sin x\cos x$. Prueba otras en el laboratorio de capas.

La semicircunferencia de arriba, de centro (0, 0) y radio 5, es $y = \sqrt{25 - x^2}$. Halla su tangente en x = 3 y comprueba que es perpendicular al radio.

1. 1

   Escribe la raíz como potencia y reconoce las capas

   Afuera va la potencia 1/2 y adentro, 25 − x².

   $$y = (25 - x^2)^{1/2}$$
2. 2

   Deriva con la regla de la cadena

   $$\begin{aligned} y' &= \tfrac{1}{2}(25 - x^2)^{-1/2}\cdot(-2x) \\ &= -\frac{x}{\sqrt{25 - x^2}} \end{aligned}$$
3. 3

   Evalúa en x = 3

   Ahí y = √(25 − 9) = 4.

   $$y'(3) = -\frac{3}{4}$$
4. 4

   Escribe la tangente

   $$\begin{aligned} y - 4 &= -\tfrac{3}{4}(x - 3) \\ y &= -\tfrac{3}{4}x + \tfrac{25}{4} \end{aligned}$$
5. 5

   Comprueba con la geometría

   El radio va de (0, 0) a (3, 4) y tiene pendiente 4/3. Como (4/3) · (−3/4) = −1, la tangente es perpendicular al radio. La derivada llega al mismo resultado que la geometría.

Los ejercicios 2, 3 y 4 salen de la sección 16.1 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible». Los tres últimos son de respuesta abierta.