6. La Regla de la Cadena: Concepto e Intuición

Comprensión visual y conceptual de la regla de la cadena mediante engranajes, composición de capas de cebolla y notación de Leibniz.

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Para empezar

El bus que sube desde Buenaventura

Con las temperaturas medias de 14 estaciones del IDEAM se ajusta la recta T(h)=28,35−0,00538 hT(h) = 28{,}35 - 0{,}00538\,h: la temperatura baja unos 0,00538 °C por cada metro de altitud. Un bus sale de Buenaventura y sube hacia la cordillera ganando 12 m de altitud por minuto (dato hipotético).

¿A qué ritmo se enfría el aire que lo rodea? Hay dos ritmos encadenados: el de la temperatura respecto a la altitud y el de la altitud respecto al tiempo. Se multiplican, y las unidades también:

dTdt=dTdh⋅dhdt=(−0,00538 °Cm)(12 mmin)≈−0,065 °Cmin\begin{aligned} \frac{dT}{dt} &= \frac{dT}{dh}\cdot\frac{dh}{dt} \\ &= \left(-0{,}00538\,\tfrac{\text{°C}}{\text{m}}\right)\left(12\,\tfrac{\text{m}}{\text{min}}\right) \\ &\approx -0{,}065\,\tfrac{\text{°C}}{\text{min}} \end{aligned}

Casi 4 °C menos por cada hora de subida.

Fuente de los datos: IDEAM, normales climatológicas (recta ajustada en el taller del capítulo 2 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible»).

Momento animado

La cadena con lupa

Un cambio pequeño en x mueve u, y ese cambio mueve y. Dale «Reproducir» y mira qué pasa con las razones cuando Δx se achica.

12xΔx = 0,5234u = x²Δu = 1,75-101y = sin uΔy = -1,53
Δx = 0,5
Etapas

Etapa 1 de 4 · Δx = 0,5

x pasa de 1,5 a 2. Entonces u = x² pasa de 2,25 a 4: Δu = 1,75, 3,5 veces Δx. Y y = sin u baja de 0,78 a -0,76: el tramo de y se voltea porque ahí sin u baja.

Δu/Δx

3,5000

se acerca a 2 · 1,5 = 3

Δy/Δu

-0,8771

se acerca a cos(2,25) ≈ -0,6282

Δy/Δx = (Δy/Δu) · (Δu/Δx)

-3,0698

se acerca a -1,8845
La idea

Se multiplican los ritmos

Lo que hizo la lupa es la demostración. Si x cambia en Δx\Delta x, la función de adentro cambia en Δu\Delta u y la de afuera en Δy\Delta y. Mientras Δu≠0\Delta u \neq 0:

ΔyΔx=ΔyΔu⋅ΔuΔx\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}

Cuando Δx→0\Delta x \to 0, también Δu→0\Delta u \to 0. Entonces ΔuΔx\frac{\Delta u}{\Delta x} se acerca a g′(x)g'(x), ΔyΔu\frac{\Delta y}{\Delta u} se acerca a f′(u)f'(u), y el producto se acerca a su producto.

Regla de la cadena
(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)dydx=dydu⋅dudx\begin{gathered} \bigl(f(g(x))\bigr)' = f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x) \\ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \end{gathered}

Se deriva la función de afuera, evaluada en la de adentro, y se multiplica por la derivada de la de adentro.

Cuando los dos ritmos son fijos, como en el bus, la cadena funciona como unas ruedas dentadas: si u da 3 vueltas por cada vuelta de x, y y da 2 por cada vuelta de u, y da 6 por cada vuelta de x.

Ruedas en cadena: transmisión de tasas

Ajusta cuántas vueltas da cada rueda por cada vuelta de la anterior y mira cómo se multiplican.

x
Entrada1 vuelta
×3
u
Interna, u(x)3 vueltas
×2
y
Externa, y(u)6 vueltas
×3
×2
Conclusión de Leibniz:Si la rueda uu gira 3 veces más rápido que xx, y la rueda yy gira 2 veces más rápido que uu, entonces yy gira 6 veces más rápido que xx.
dydx=2×3=6\frac{dy}{dx} = 2 \times 3 = 6
Ejemplo resuelto

Afuera y adentro

Deriva y=(3x2+1)5y = (3x^2 + 1)^5.

  1. 1

    Reconoce las dos capas

    La de afuera es u⁵ y la de adentro es u = 3x² + 1.
  2. 2

    Deriva la de afuera y deja la de adentro quieta

    5u4=5 (3x2+1)45u^4 = 5\,(3x^2 + 1)^4
  3. 3

    Deriva la de adentro

    u′=6xu' = 6x
  4. 4

    Multiplica

    y′=5 (3x2+1)4⋅6x=30x (3x2+1)4\begin{aligned} y' &= 5\,(3x^2+1)^4 \cdot 6x \\ &= 30x\,(3x^2+1)^4 \end{aligned}

Sin la regla de la cadena habría que desarrollar un polinomio de grado 10. Con raíces pasa igual: 1+x2=(1+x2)1/2\sqrt{1 + x^2} = (1 + x^2)^{1/2}, así que y′=12(1+x2)−1/2⋅2x=x1+x2y' = \tfrac{1}{2}(1 + x^2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}.

Practica

Ritmos encadenados

Los ejercicios 1, 3, 4 y 5 salen de la sección 16.1 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible».

Ejercicio 1: el bus que baja
Un bus baja de la cordillera hacia el Pacífico y pierde 15 m de altitud por minuto (dato hipotético). Con la recta del IDEAM, T(h)=28,35−0,00538 hT(h) = 28{,}35 - 0{,}00538\,h, ¿a qué ritmo cambia la temperatura del aire?
Ejercicio 2: identificar las capas
¿Cuál es la derivada de y=sin⁡(x2)y = \sin(x^2)?
Ejercicio 3: con una tabla
De dos funciones se sabe que g(1)=2g(1) = 2, g′(1)=−1g'(1) = -1, f′(1)=2f'(1) = 2 y f′(2)=4f'(2) = 4. ¿Cuánto vale la derivada de f(g(x))f(g(x)) en x = 1?
Ejercicio 4 (tipo Saber 11): lo que olvidó Mateo
Mateo dice que la derivada de (x2+1)3(x^2 + 1)^3 es 3(x2+1)23(x^2 + 1)^2, «porque es como derivar u3u^3». ¿Qué pasa con su respuesta?
Ejercicio 5: el pez que crece
En un cultivo, un pez de L centímetros pesa W=0,012 L3W = 0{,}012\,L^3 gramos, y crece 0,5 cm por semana (modelo hipotético). ¿A qué ritmo gana peso cuando mide 20 cm?
Ejercicio 6: derivar sin desarrollar
¿Cuál es la derivada de y=(2x+3)4y = (2x + 3)^4?