5. Derivadas de Funciones Trigonométricas

Derivadas de seno, coseno, tangente y sus recíprocas mediante ciclos periódicos y la regla mnemotécnica de las cofunciones.

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Para empezar

La boya que sube y baja

Una boya sube y baja con las olas. Si su altura sobre el nivel medio es y(t)=0,4sin⁡πt4y(t) = 0{,}4\sin\frac{\pi t}{4} metros (modelo hipotético del libro: una ola cada 8 segundos), ¿cuándo se mueve más rápido? ¿En la cresta o a mitad de camino?

La velocidad es la derivada de la altura, y la altura es un seno. Para responder hay que saber cómo cambia el seno en cada punto. El momento animado lo muestra pendiente por pendiente.

Momento animado

Las pendientes del seno

Arriba, la tangente recorre y = sin x. Abajo, cada pendiente se vuelve un punto. Dale «Reproducir» o arrastra x.

0π/2π3π/22πy = sin xsus pendientes-101-101
  • Tangente en x
  • Subida con avance 1 = pendiente = altura de abajo
x = 0,00
Etapas

Etapa 1 de 5 · x = 0

En x = 0 el seno sube con pendiente 1: con avance 1, la tangente sube 1. Abajo, el punto rojo queda a altura 1, que es cos 0.

x

0,00

f(x) = 0,00

Pendiente f′(x)

1,00

f sube
La idea

El seno se deriva en coseno

Lo que dibujaron las pendientes se demuestra con la fórmula del seno de una suma y los dos límites del capítulo de límites:

Con x en radianes
(sin⁡x)′=cos⁡x(cos⁡x)′=−sin⁡x\begin{gathered} (\sin x)' = \cos x \\ (\cos x)' = -\sin x \end{gathered}

Con la regla de la cadena: (sin u)′ = cos u · u′ y (cos u)′ = −sin u · u′.

Las fórmulas valen con x en radianes. En grados aparecería un factor π180\frac{\pi}{180} en cada derivada. Al derivar varias veces, el ciclo se repite cada cuatro pasos: sin → cos → −sin → −cos → sin. Explóralo en la rueda.

Laboratorio

La brújula cíclica del seno y el coseno

Escoge una función de la rueda. Su derivada es la siguiente, y va punteada en la gráfica.

━ y=sin⁡xy = \sin x · ┅ su derivada y′=cos⁡xy' = \cos x · ━ tangente

x = π/3 (60°)
La pendiente de la tangente a sin⁡x\sin x en x=π/3x = π/3 es 0,500: justo la altura de cos⁡x\cos x en ese x (el punto de color).

La tangente sale con la regla del cociente, tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, y de ahí las demás:

(tan⁡x)′=sec⁡2x(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(cot⁡x)′=−csc⁡2x(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x\begin{aligned} (\tan x)' &= \sec^2 x \\ (\sec x)' &= \sec x\tan x \\ (\cot x)' &= -\csc^2 x \\ (\csc x)' &= -\csc x\cot x \end{aligned}

Las que empiezan por «co» (coseno, cotangente, cosecante) llevan signo menos.

Ejemplo resuelto

Una recta tangente

Deriva y=3sin⁡x−2cos⁡xy = 3\sin x - 2\cos x y halla su tangente en x = 0.

  1. 1

    Deriva término a término

    y′=3cos⁡x−2(−sin⁡x)=3cos⁡x+2sin⁡x\begin{aligned} y' &= 3\cos x - 2(-\sin x) \\ &= 3\cos x + 2\sin x \end{aligned}
  2. 2

    El punto de tangencia

    y(0)=3⋅0−2⋅1=−2y(0) = 3 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = -2
  3. 3

    La pendiente en x = 0

    y′(0)=3⋅1+2⋅0=3y'(0) = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 3
  4. 4

    La tangente

    Pasa por (0, −2) con pendiente 3.
    y=3x−2y = 3x - 2

Con la boya de la apertura: y′(t)=0,4cos⁡πt4⋅π4=0,1πcos⁡πt4y'(t) = 0{,}4\cos\frac{\pi t}{4}\cdot\frac{\pi}{4} = 0{,}1\pi\cos\frac{\pi t}{4}. La mayor rapidez, 0,1π≈0,310{,}1\pi \approx 0{,}31 m/s, es al pasar por el nivel medio. En la cresta (t = 2) la velocidad es 0, como en la cima del momento animado.

Practica

Seno, coseno y sus pendientes

Las seis preguntas salen de la sección 16.3 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible». Los tres últimos ejercicios son de respuesta abierta.

Ejercicio 1: la boya
Con la boya de la apertura, y(t)=0,4sin⁡πt4y(t) = 0{,}4\sin\frac{\pi t}{4} metros, ¿cuál es la mayor rapidez con la que sube y dónde está la boya en ese momento?
Ejercicio 2: la lona para el agua lluvia
Para recoger agua lluvia se tiende una lona triangular con dos lados de 2 m que forman un ángulo θ. Su área es A(θ)=2sin⁡θA(\theta) = 2\sin\theta m². ¿Cuánto vale A′(π3)A'\left(\frac{\pi}{3}\right)?
Ejercicio 3: con la regla de la cadena
¿Cuál es la derivada de y=sin⁡3xy = \sin 3x?
Ejercicio 4: el signo
¿Cuál es la derivada de y=−2cos⁡xy = -2\cos x?
Ejercicio 5: la tangente en π
¿Cuál es la recta tangente a y=sin⁡xy = \sin x en x=πx = \pi?
Ejercicio 6 (tipo Saber 11): tangentes horizontales
¿En qué puntos de [0,2π)[0, 2\pi) es horizontal la tangente a y=sin⁡x+cos⁡xy = \sin x + \cos x?

Calcula la derivada de orden 100 de la función seno: d100dx100(sin⁡x)\frac{d^{100}}{dx^{100}}(\sin x).

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1. Las derivadas de sin⁡(x)\sin(x) tienen periodo 4: sin⁡→cos⁡→−sin⁡→−cos⁡→sin⁡\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin.

2. Dividimos el orden entre 4: 100÷4=25100 \div 4 = 25 con residuo 00.

3. Un residuo de 0 significa que se completaron 25 ciclos completos y regresamos al inicio: sin⁡(x)\sin(x).

Calcula la derivada de f(x)=x⋅tan⁡(x)f(x) = x \cdot \tan(x) aplicando la Regla del Producto.

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1. Derivada del primero: (x)′=1(x)' = 1

2. Derivada del segundo: (tan⁡x)′=sec⁡2(x)(\tan x)' = \sec^2(x)

3. Regla del producto: (1)(tan⁡x)+(x)(sec⁡2x)=tan⁡x+xsec⁡2x(1)(\tan x) + (x)(\sec^2 x) = \tan x + x\sec^2 x

Tipo PISA: Física Óptica

El Haz Giratorio del Faro

Un faro marino costero emite un haz de luz sobre una pared rectilínea a 1 km de distancia. La posición del punto luminoso es y=tan⁡(θ)y = \tan(\theta). ¿Cuál es la tasa de cambio de la posición del haz cuando el ángulo es θ=0\theta = 0 (apuntando perpendicularmente a la costa)?

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1. Derivada: y′=sec⁡2(θ)=1cos⁡2(θ)y' = \sec^2(\theta) = \frac{1}{\cos^2(\theta)}

2. Evaluamos en θ=0\theta = 0: cos⁡(0)=1  ⟹  sec⁡2(0)=1/12=1\cos(0) = 1 \implies \sec^2(0) = 1/1^2 = 1 km por radián.