4. Reglas del Producto y Cociente

Cómo derivar multiplicaciones y divisiones de funciones sin caer en la trampa del falso producto.

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Para empezar

La mermelada de la vereda

Una asociación de mujeres de una vereda vende mermelada de frutas. Supón que, si venden x frascos a la semana, el precio al que logran venderlos es p(x)=12 000−20xp(x) = 12\,000 - 20x pesos (datos hipotéticos del libro). Su ingreso es frascos por precio: I(x)=x⋅p(x)I(x) = x\cdot p(x).

¿Les conviene vender un frasco más? Ese frasco trae su precio, pero para venderlo bajan el precio de todos. El ingreso es un producto, y su derivada no es el producto de las derivadas.

Momento animado

El ingreso de la mermelada

El ingreso es el área del rectángulo: frascos por precio. Dale «Reproducir» y compara la franja que se gana con la que se pierde.

06.00012.0000300600preciofrascos0120300600ingreso (millones)
  • Frascos nuevos: suman
  • Baja de precio: resta
  • Tangente: su pendiente es I′
x = 0
Etapas

Etapa 1 de 5 · Empieza

Sin ventas no hay ingreso. Cada frasco de más trae su precio (franja verde), pero para vender más hay que bajar el precio: $20 menos por frasco, para todos (franja roja).

Precio p(x)

$12.000

12.000 − 20x

Ingreso I(x)

$0

x · p(x)

Suma un frasco más

$12.000

su precio: 1 · p(x)

Pierden los demás

$0

$20 menos a cada uno: x · p′(x)

I′(x) = p(x) + x · p′(x)

$12.000 por frasco

12.000 − 40x
La idea

Dos franjas, una por cada factor

En un rectángulo de lados f y g que crecen, el área gana dos franjas, una de Δf⋅g\Delta f \cdot g y otra de f⋅Δgf \cdot \Delta g, más un cuadrito Δf⋅Δg\Delta f\cdot\Delta g en la esquina. Al dividir entre el tiempo y hacerlo cada vez más corto, el cuadrito no cuenta. Míralo en el laboratorio de abajo.

Demostración geométrica

¿Por qué nacen dos términos en la regla del producto?

El área del rectángulo es u⋅vu \cdot v. Cuando xx avanza Δx\Delta x, los lados crecen Δu=u′Δx\Delta u = u'\Delta x y Δv=v′Δx\Delta v = v'\Delta x. Achica Δx\Delta x y mira qué pasa con la esquina roja.

u · v = 12v·Δuu·ΔvΔu·Δvu = 4, v = 3 · u′ = 2, v′ = 1,5
Δx = 1

Lo que creció el área: v·Δu = 6,0000 + u·Δv = 6,0000 + Δu·Δv = 3,0000

Dividido entre Δx: Δ(uv)Δx=6+6+3Δx=15,0000\tfrac{\Delta(uv)}{\Delta x} = 6 + 6 + 3\Delta x = 15{,}0000

La esquina es el 20,00% del aumento. Dividida entre Δx vale 3Δx=3,00003\Delta x = 3{,}0000: no es 0, pero se encoge hacia 0 con Δx.

Por eso, en el límite: (uv)′=u′v+uv′=2⋅3+4⋅1,5=12(uv)' = u'v + uv' = 2 \cdot 3 + 4 \cdot 1{,}5 = 12

Las reglas

Producto y cociente

Reglas del producto y del cociente
(f g)′=f′ g+f g′(fg)′=f′ g−f g′g2,g≠0\begin{gathered} (f\,g)' = f'\,g + f\,g' \\ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'\,g - f\,g'}{g^2}, \quad g \neq 0 \end{gathered}

En el cociente importa el orden: la derivada de arriba por la de abajo sin derivar, menos la de arriba sin derivar por la derivada de abajo.

El cociente sale del producto: si q=fgq = \frac{f}{g}, entonces f=q gf = q\,g, y al derivar y despejar q′q' se llega a la fórmula.

Ejemplo resuelto

Agua del pozo y agua lluvia

Al mezclar 1.000 L de agua de un pozo con 18 mg/L de nitratos y x litros de agua lluvia tratada con 2 mg/L (datos hipotéticos del libro), la concentración de la mezcla es N(x)=18 000+2x1000+xN(x) = \frac{18\,000 + 2x}{1000 + x} mg/L. ¿Cómo cambia con cada litro de agua lluvia?

  1. 1

    Nombra arriba y abajo

    Arriba, f = 18.000 + 2x, con f′ = 2. Abajo, g = 1.000 + x, con g′ = 1.
  2. 2

    Aplica la regla del cociente

    N′(x)=2 (1000+x)(1000+x)2−(18 000+2x)⋅1(1000+x)2\begin{aligned} N'(x) &= \frac{2\,(1000 + x)}{(1000 + x)^2} \\ &\quad - \frac{(18\,000 + 2x)\cdot 1}{(1000 + x)^2} \end{aligned}
  3. 3

    Simplifica el numerador

    Los 2x se cancelan: 2.000 − 18.000 = −16.000.
    N′(x)=−16 000(1000+x)2N'(x) = \frac{-16\,000}{(1000 + x)^2}
  4. 4

    Evalúa y lee

    En mg/L por cada litro de agua lluvia. La derivada siempre es negativa: el agua lluvia baja la concentración. Pero los primeros litros la bajan cuatro veces más rápido que los que se agregan cuando ya hay 1.000 L.
    N′(0)=−0,016N′(1000)=−0,004\begin{gathered} N'(0) = -0{,}016 \\ N'(1000) = -0{,}004 \end{gathered}
Practica

Productos y cocientes

Las preguntas salen de la sección 15.1 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible». Los tres últimos ejercicios son de respuesta abierta.

Ejercicio 1: un frasco más
Con la mermelada, I(x)=x⋅p(x)I(x) = x\cdot p(x) y p(x)=12 000−20xp(x) = 12\,000 - 20x. ¿Cuánto vale I′(100)I'(100) y qué dice?
Ejercicio 2: un producto
¿Cuál es la derivada de y=(2x+1)(x2−3)y = (2x + 1)(x^2 - 3)?
Ejercicio 3: un cociente
¿Cuál es la derivada de y=xx+2y = \dfrac{x}{x + 2}?
Ejercicio 4: una recta tangente
¿Cuál es la recta tangente a y=x+1x−1y = \dfrac{x + 1}{x - 1} en x = 3?
Ejercicio 5 (tipo Saber 11): el costo promedio del reciclaje
El costo promedio por tonelada de una estación de reciclaje es C‾(x)=150 000x+12 000 000x\overline{C}(x) = \dfrac{150\,000x + 12\,000\,000}{x} pesos, con x toneladas al mes (datos hipotéticos del libro). ¿Qué dice C‾′(120)\overline{C}'(120)?

Calcula la derivada de h(x)=x2⋅(x3+1)h(x) = x^2 \cdot (x^3 + 1) usando la regla del producto antes de agrupar términos.

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1. f′(x)=2xf'(x) = 2x y g′(x)=3x2g'(x) = 3x^2

2. Aplicamos f′g+fg′f'g + fg':

2x(x3+1)+x2(3x2)=2x4+2x+3x4=5x4+2x2x(x^3+1) + x^2(3x^2) = 2x^4 + 2x + 3x^4 = 5x^4 + 2x

Calcula y′y' si y=xx+1y = \frac{x}{x+1}. Escribe la expresión resultante simplificada.

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1. f=x  ⟹  f′=1f = x \implies f' = 1; g=x+1  ⟹  g′=1g = x + 1 \implies g' = 1

2. Numerador: f′g−fg′=1(x+1)−x(1)=x+1−x=1f'g - fg' = 1(x+1) - x(1) = x + 1 - x = 1

3. Denominador: (x+1)2(x+1)^2

Resultado: 1(x+1)2\frac{1}{(x+1)^2}

Tipo PISA: costo promedio

El costo promedio de fabricación

El costo total, en miles de pesos, de producir xx unidades es C(x)=500+10xC(x) = 500 + 10x. El costo promedio unitario es P(x)=C(x)xP(x) = \frac{C(x)}{x}. ¿Cuál es la tasa marginal de variación del costo promedio cuando se fabrican x=10x = 10 unidades?

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1. Derivamos con regla del cociente:

P′(x)=10(x)−(500+10x)(1)x2=10x−500−10xx2=−500x2P'(x) = \frac{10(x) - (500 + 10x)(1)}{x^2} = \frac{10x - 500 - 10x}{x^2} = \frac{-500}{x^2}

2. Evaluamos en x=10x = 10:

P′(10)=−500102=−500100=−5P'(10) = \frac{-500}{10^2} = \frac{-500}{100} = -5

El signo negativo dice que, con 10 unidades, cada unidad de más baja el costo promedio unos 5 mil pesos: el costo fijo se reparte entre más unidades.