3. Reglas Básicas y Potencia Universal

Para estimar el carbono de un bosque, los ecólogos usan fórmulas que dan la biomasa de un árbol a partir del diámetro de su tronco. Supón que, para una especie, la biomasa es $B(D) = 0{,}1\,D^{2{,}5}$ kilogramos, con D en centímetros (modelo hipotético del libro).

¿Cuántos kilogramos gana el árbol por cada centímetro más de diámetro? Depende de lo grueso que ya es, y la respuesta sale de derivar una potencia. Calcularla con el límite sería largo. La regla de la potencia lo hace en una línea, y el momento animado muestra de dónde sale.

Las derivadas que ya calculaste con la definición siguen un patrón: $(x)' = 1$, $(x^2)' = 2x$, $(x^3)' = 3x^2$, $(x^{-1})' = -x^{-2}$ y $(x^{1/2})' = \tfrac{1}{2}x^{-1/2}$. En el cuadrado, el 2 de $2x$ son las dos franjas; en un cubo serían tres placas de $x^2 \cdot \Delta x$.

Con otras tres reglas sencillas ya se puede derivar cualquier polinomio sin límites:

• Constante: $(c)' = 0$. Su gráfica es una recta horizontal y una cantidad fija no cambia.
• Múltiplo: $(c\,f)' = c\,f'$. Por ejemplo, $(5x^3)' = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2$.
• Suma y resta: $(f \pm g)' = f' \pm g'$: se deriva término a término.

Deriva $g(x) = 6\sqrt{x} - \dfrac{2}{x^2}$.

1. 1

   Escribe las raíces y las fracciones como potencias

   $$g(x) = 6x^{1/2} - 2x^{-2}$$
2. 2

   Deriva término a término: baja el exponente y réstale 1

   $$\begin{aligned} g'(x) &= 6 \cdot \tfrac{1}{2}x^{-1/2} \\ &\quad - 2 \cdot (-2)\,x^{-3} \end{aligned}$$
3. 3

   Simplifica

   $$g'(x) = 3x^{-1/2} + 4x^{-3}$$
4. 4

   Vuelve a raíces y fracciones

   $$g'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} + \frac{4}{x^3}$$

Con el árbol de la apertura: $B'(D) = 0{,}1 \cdot 2{,}5\,D^{1{,}5} = 0{,}25\,D^{1{,}5}$. Con D = 25 cm, $B'(25) = 0{,}25 \cdot 125 = 31{,}25$: el árbol gana unos 31 kg de biomasa por cada centímetro más de diámetro.

Los ejercicios 1 a 5 salen de la sección 14.6 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible». Los tres últimos son de respuesta abierta.