20. Taller Avanzado de Derivación

Explora los límites del cálculo: funciones a trozos, picos, oscilaciones infinitas y el teorema de Weierstrass.

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Para empezar

La factura de la luz tiene una esquina

En Colombia, la UPME fija el consumo de subsistencia de energía: 130 kWh al mes en los municipios que están a 1.000 m de altitud o más, y 173 kWh en los más bajos. El libro arma con ese límite una tarifa por bloques, con precios hipotéticos: los primeros 130 kWh a $500 cada uno y cada kWh adicional a $800.

Tarifa por bloques (libro, capítulo 2; precios hipotéticos)
C=500xC=65 000+800(x−130)\begin{aligned} C &= 500x \\ C &= 65\,000 + 800(x - 130) \end{aligned}

El primer renglón vale hasta 130 kWh, y el segundo, de ahí en adelante. x en kWh al mes y C en pesos.

Los dos trozos se pegan sin salto: en 130 kWh los dos dan $65.000. Pero el precio de cada kWh adicional, que es la derivada C′(x), salta de $500 a $800. En 130 la gráfica tiene una esquina, y C′(130) no existe. Hay funciones aún más raras: sin salto y sin esquina a la vista, y aun así sin derivada.

Momento animado

La secante que no se decide

Una lupa se acerca al origen de y = x sin(1/x). Mira la secante que sale del origen: ¿se queda quieta? Dale «Reproducir» o arrastra el aumento.

y = −xy = x×1×5×10×15×20−101y = x sin(1/x), con la lupaPendiente de la secante: sin(1/h)
  • La curva, con f(0) = 0
  • Las rectas y = x, y = −x
  • Secante desde el origen
  • El punto en x = h
×1,0
Etapas

Etapa 1 de 5 · Lupa ×1

La secante une el origen con el punto de la curva en x = h = 1. Su pendiente es f(h)/h = sin(1/h) = sin 1 ≈ 0,84.

Aumento de la lupa

×1,0

El punto está en h = 1

Pendiente de la secante

0,84

f(h)/h = sin(1/h)
La idea

Tres maneras de quedarse sin derivada

La derivada es un límite. Si ese límite no da un solo número, no hay derivada:

La derivada en a
f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Tiene que dar el mismo número con h > 0 y con h < 0.

  • Salto. Si f no es continua en a, no hay derivada.
  • Esquina. Las pendientes por la izquierda y por la derecha no coinciden, como en la tarifa (500 y 800) o en ∣x∣|x| en 0 (−1 y 1).
  • Oscilación. La pendiente de la secante no se queda quieta, como en xsin⁡(1/x)x \sin(1/x) en el momento animado.

Ser continua no basta para ser derivable. En el siglo XIX, Karl Weierstrass construyó una función continua en todos los puntos y sin derivada en ninguno: tiene picos a toda escala, como una sierra que nunca se alisa por mucho que se acerque la lupa.

En el laboratorio sueldas dos trozos: tienen que coincidir la altura y la pendiente.

Laboratorio

Soldador de funciones

Une la recta (derecha) con la parábola y=x2y = x^2 (izquierda) en x=1x = 1, sin salto y sin esquina.

  • f(x)=x2f(x) = x^2, si x<1x < 1
  • g(x)=m(x−1)+1+hg(x) = m(x - 1) + 1 + h, si x≥1x \ge 1
h = 0,5
m = 0,5

Altura en x = 1

1 y 1,5

Al llegar por la izquierda y g(1)

Pendientes en x = 1

2 y 0,5

Por la izquierda, f′(1)=2f'(1) = 2, y por la derecha

Discontinua: en x = 1 la parábola llega a 1 y la recta empieza en 1,5. Hay un salto de 0,5, y sin continuidad no hay derivada.

Ejemplo resuelto

¿Es derivable la tarifa en 130 kWh?

  1. 1

    Revisa que no haya salto

    Por la izquierda, C(130) = 500 · 130 = 65.000. Por la derecha, el segundo trozo empieza en 65.000. Es continua.
  2. 2

    Pendiente por la izquierda (h < 0)

    Con el primer trozo, C(130 + h) = 65.000 + 500h, así que C(130 + h) − C(130) = 500h. El cociente queda:
    500hh=500\frac{500h}{h} = 500
  3. 3

    Pendiente por la derecha (h > 0)

    Con el segundo trozo, C(130 + h) = 65.000 + 800h, así que C(130 + h) − C(130) = 800h. El cociente queda:
    800hh=800\frac{800h}{h} = 800
  4. 4

    Compara

    500 ≠ 800: el cociente no se acerca al mismo número por los dos lados. C′(130) no existe. Antes de 130, C′ = 500 pesos por kWh; después, 800.
Practica

Saltos, esquinas y oscilaciones

En cada caso, revisa primero que no haya salto y después compara las pendientes por los dos lados.

Ejercicio 1 (tipo Saber 11): el kWh adicional
Con la tarifa por bloques C(x)C(x) (los primeros 130 kWh a 500 pesos cada uno y cada kWh adicional a 800 pesos), ¿cuánto vale C′(200)C'(200)?
Ejercicio 2: ¿salto, esquina o nada?

¿Es derivable en x=1x = 1 la función f(x)={x2x≤13x−2x>1f(x) = \begin{cases} x^2 & x \le 1 \\ 3x - 2 & x > 1 \end{cases}?

Ejercicio 3: soldar sin salto y sin esquina
¿Qué valores de m y b hacen derivable en x = 2 a la función f(x)=x2f(x) = x^2 si x≤2x \le 2, f(x)=mx+bf(x) = mx + b si x>2x > 2?
Ejercicio 4: una x de más
Con g(0)=0g(0) = 0, ¿es derivable g(x)=x2sin⁡(1/x)g(x) = x^2 \sin(1/x) en 0?
Ejercicio 5 (tipo PISA): la caída en V

Un programa modela el precio de una acción alrededor de una caída brusca con P(t)=∣t∣+100P(t) = |t| + 100: baja hasta t=0t = 0 y después sube, en forma de V. El programa necesita la tasa de cambio instantánea P′(0)P'(0). ¿Qué obtiene?