2. Notaciones y Diferenciabilidad

Dominar las notaciones de Leibniz, Lagrange y Newton, y comprender por qué la continuidad no basta para garantizar la diferenciabilidad.

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Para empezar

Frente a la puerta del colegio

Caminas por una calle recta a 1 m/s y pasas frente a la puerta del colegio. Tu distancia a la puerta, medida sobre la calle, es d(t)=∣t∣d(t) = |t| metros, si t = 0 es el instante en que pasas frente a ella.

Un instante antes la distancia baja a 1 m/s; un instante después sube a 1 m/s. ¿A qué ritmo cambia justo cuando pasas? No hay un solo número que sirva: en ese instante la distancia no tiene derivada. En esta lección vas a ver por qué, y cómo se escribe la derivada cuando sí existe.

Momento animado

Dos lupas sobre el origen

Las dos lupas se acercan al origen a la vez. Dale «Reproducir» y mira cuál de las dos gráficas se vuelve una recta.

y = x²pendientes ±2y = |x|pendientes ±1ventana: x entre −2 y 2
  • Tangente de x² en 0: y = 0
± 2
Etapas

Etapa 1 de 4 · De lejos

De lejos, las dos gráficas tienen su punto más bajo en el origen. Las dos lupas se van a acercar a la vez, con la misma escala en los dos ejes.

x²: secantes por el origen

2,00 y −2,00

por la derecha y por la izquierda: se acercan a 0

|x|: secantes por el origen

1 y −1

con cualquier h: no se acercan a un mismo número
La idea

Derivable quiere decir que se ve recta con lupa

f es derivable en a si existe el límite f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}. Con la lupa: cerca de a, la gráfica se ve como una sola recta no vertical, su tangente.

Falla en tres casos típicos, que puedes recorrer en el laboratorio:

  • Un pico o una esquina, como |x| en 0: la pendiente por la derecha y la de la izquierda no coinciden.
  • Una tangente vertical, como ∛x en 0: las secantes se empinan sin límite.
  • Un salto: si f no es continua en a, no es derivable en a. Al revés no vale: |x| es continua en 0 y no es derivable ahí.
Microscopio de derivabilidad

¿Dónde se rompe la derivada?

f(x)=∣x∣f(x) = |x| · verde: la tangente · rojo punteado: lo que haría de tangente, y no sirve

x = 0
Pendiente por la izquierda−1
Pendiente por la derecha1
✗ No derivable en x = 0. Esquina: por la izquierda la pendiente es −1 y por la derecha es 1. No coinciden, así que f′(0) no existe.
Principio clave: para que la derivada exista no basta con que la curva sea continua: las pendientes por los dos lados tienen que llegar al mismo número (sin esquinas) y ese número tiene que existir (sin tangente vertical).
Formas de escribir la derivada
f′(x)y′dydxddx[f(x)]f′′(x)=d2ydx2\begin{gathered} f'(x) \qquad y' \qquad \frac{dy}{dx} \qquad \frac{d}{dx}\bigl[f(x)\bigr] \\ f''(x) = \frac{d^2y}{dx^2} \end{gathered}

La de Lagrange (f′) es corta. La de Leibniz (dy/dx) recuerda que la derivada sale de un cociente de cambios pequeños, y dice respecto a qué variable se deriva.

Ejemplo resuelto

Por qué |x| no es derivable en 0

  1. 1

    El cociente en a = 0

    f(0+h)−f(0)h=∣h∣h\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \frac{|h|}{h}
  2. 2

    Por la derecha, h > 0

    Entonces |h| = h.
    ∣h∣h=1\frac{|h|}{h} = 1
  3. 3

    Por la izquierda, h < 0

    Entonces |h| = −h.
    ∣h∣h=−1\frac{|h|}{h} = -1
  4. 4

    Concluye

    El cociente vale 1 o −1 según el lado, por pequeño que sea h: no se acerca a un solo número y el límite no existe. |x| no es derivable en 0, aunque sí es continua ahí. En la lupa, el pico nunca se vuelve recta.
Practica

Derivable o no, y cómo se escribe

Los ejercicios 2 a 4 salen de la sección 14.4 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible». Los tres últimos son de respuesta abierta.

Ejercicio 1 (tipo Saber 11): ¿cuál es derivable en 0?
¿Cuál de estas funciones es derivable en x = 0?
Ejercicio 2: con la definición
Con la definición, ¿cuánto vale f′(−1) si f(x)=x2f(x) = x^2?
Ejercicio 3: una tangente paralela
¿En qué punto de la parábola y=x2y = x^2 la tangente es paralela a la recta y=6x−1y = 6x - 1?
Ejercicio 4: el aspersor
Un aspersor riega un círculo de radio r metros y área A(r)=πr2A(r) = \pi r^2. ¿Cuánto vale A′(10) y qué significa?
Ejercicio 5: continua y derivable
Si una función es continua en x = a, ¿se puede asegurar que es derivable en a?

Si la posición de un proyectil viene dada por la función s(t)s(t), ¿cuál es la notación de Leibniz que expresa la aceleración instantánea respecto al tiempo?

Ver la explicación completa

La segunda derivada en la notación de Leibniz se escribe como d2sdt2\frac{d^2s}{dt^2}, indicando la aplicación dos veces consecutivas del operador diferencial ddt\frac{d}{dt}.

¿Es la función f(x)=∣x−5∣f(x) = |x - 5| diferenciable en x=5x = 5? (Sí/No)

Ver la explicación completa

No. En x=5x = 5 la gráfica forma una esquina en 'V'. La derivada lateral izquierda es −1-1 y la derecha es +1+1. Al no coincidir, la función no es diferenciable en ese punto.

Tipo PISA: Análisis de Sensores

El Sensor Térmico Industrial

Un sensor registra la temperatura en grados Celsius. En el segundo 12, se produce un fallo eléctrico y la lectura salta bruscamente de 75∘C75^\circ C a 25∘C25^\circ C instantáneamente. ¿Existe la razón de cambio de temperatura en ese instante exacto?

Ver la explicación completa

Respuesta: No.

Por el contrarrecíproco del teorema de derivabilidad: si una función no es continua en un punto, automáticamente no es diferenciable allí. No es posible trazar una tasa de cambio instantánea sobre una discontinuidad de salto.