19. Teorema de Fermat

Descubre cómo encontrar los máximos y mínimos de una función usando la derivada como herramienta de detección.

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Para empezar

La huerta del colegio

Con 8 metros de malla quieren encerrar una huerta rectangular en el colegio. Si un lado mide x metros, el otro mide 4 − x, y el área es A(x)=x (4−x)A(x) = x\,(4 - x) m². ¿Qué medidas dan la mayor área?

Es el mismo problema que resolvió Pierre de Fermat en el siglo XVII, antes de que existieran las derivadas: partir un segmento en dos partes con el producto más grande. Su idea es el teorema de esta lección: en la cima, la tangente es horizontal.

Momento animado

Las secantes de la cima

Dos secantes salen de la cima, una a cada lado. Dale «Reproducir» y mira hacia dónde van sus pendientes.

0011223344CA(x) = x(4 − x)
  • Secante a la izquierda
  • Secante a la derecha
  • Tangente en la cima
h = 1,5
Etapas

Etapa 1 de 4 · h = 1,5

Desde la cima C = (2, 4), la secante hacia la derecha baja y la de la izquierda sube. Cerca de un máximo, todos los valores son menores que el de la cima.

Secante a la izquierda

1,50

pendiente ≥ 0: se sube hacia C

Secante a la derecha

-1,50

pendiente ≤ 0: se baja desde C
La idea

En un extremo, la tangente es horizontal

Teorema de Fermat
Si f tiene un extremo local en cy f′(c) existe, entoncesf′(c)=0\begin{gathered} \text{Si } f \text{ tiene un extremo local en } c \\ \text{y } f'(c) \text{ existe, entonces} \\ f'(c) = 0 \end{gathered}

La demostración es lo que viste: en un máximo, las secantes de la derecha tienen pendiente ≤ 0 y las de la izquierda ≥ 0, así que su límite común es 0.

Por eso los extremos se buscan entre los puntos críticos: los c donde f′(c)=0f'(c) = 0 o donde f′(c)f'(c) no existe. Pero no todo punto crítico es un extremo. Para decidir se mira el signo de f′: si pasa de + a −, hay un máximo; si pasa de − a +, un mínimo; si no cambia, no hay extremo.

Laboratorio

Radar de extremos

Mueve el punto. En una cima o un valle donde ff es derivable, Fermat dice que la tangente es horizontal. Busca x=−1x = -1 y x=1x = 1.

  • f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x
  • Tangente en el punto
  • Puntos críticos
x = 0,5

Pendiente, f′(x)f'(x)

-2,25

Altura, f(x)f(x)

-1,375

f'(0,5) = -2,25, no es 0: la tangente está inclinada y la curva baja. En una cima o un valle (donde f es derivable) la pendiente tendría que ser 0.

Ejemplo resuelto

Los extremos de un polinomio

Halla y clasifica los extremos locales de f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5.

  1. 1

    Deriva y factoriza

    f′(x)=3x2−6x−9=3(x+1)(x−3)\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 6x - 9 \\ &= 3(x + 1)(x - 3) \end{aligned}
  2. 2

    Puntos críticos

    f′ existe en todo punto y vale 0 en x = −1 y x = 3.
  3. 3

    Signo de f′ en x = −1

    Pasa de + a −: hay un máximo local, f(−1) = 10.
  4. 4

    Signo de f′ en x = 3

    Pasa de − a +: hay un mínimo local, f(3) = −22.
  5. 5

    Fíjate en la palabra «local»

    Lejos de esos puntos, f toma valores mayores que 10 y menores que −22: son el más grande y el más pequeño cerca, no en toda la recta.
Practica

Cazar extremos

Los ejercicios 1 a 4 salen de la sección 15.3 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible».

Ejercicio 1: todos los puntos críticos
¿Cuáles son todos los puntos críticos de f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5?
Ejercicio 2: un solo punto crítico
¿Qué extremo tiene f(x)=x2−8x+3f(x) = x^2 - 8x + 3?
Ejercicio 3 (tipo Saber 11): un punto crítico que no es extremo
La función f(x)=x3−3x2+3xf(x) = x^3 - 3x^2 + 3x tiene derivada f′(x)=3(x−1)2f'(x) = 3(x - 1)^2. ¿Qué pasa en x = 1?
Ejercicio 4: partir el 20
Divide 20 en dos partes positivas cuya suma de cuadrados sea la menor posible. ¿Cuáles son?
Ejercicio 5 (tipo PISA): la inversión que más deja
El beneficio de un negocio, en millones de pesos, es P(x)=−x2+10x−15P(x) = -x^2 + 10x - 15 cuando invierte x millones. ¿Qué inversión da el mayor beneficio?