19. Teorema de Fermat | Cálculo Diferencial

La Teoría de la Cima

Imagina que caminas por una montaña rusa. Cuando llegas al punto más alto (máximo) o al más bajo (mínimo), hay un instante fugaz en el que dejas de subir y aún no empiezas a bajar. En ese instante, el suelo es perfectamente plano.

Pierre de Fermat formalizó esto: Si una función suave tiene un extremo local, su recta tangente debe ser horizontal.

Teorema de Fermat

Si $f$ tiene un máximo o mínimo local en $c$ , y si $f'(c)$ existe, entonces:

f'(c) = 0

"La derivada se anula en los extremos suaves".

Laboratorio: El Escáner de Derivadas

Usa el escáner para encontrar los puntos donde la pendiente se vuelve cero. Estos son tus "sospechosos habituales" para ser máximos o mínimos.

Radar de Extremos

Buscando el Cero

Mueve el escáner. Fermat dice que en la cima y en el fondo, la derivada debe ser cero.

f'(x) =-2.25

Pendiente activa...

x = -2x = 0x = 2

Pista: Intenta detenerte exactamente en

x = -1

(Cima) y

x = 1

(Valle).

La Lista de Sospechosos

Fermat nos dice dónde buscar, pero debemos tener cuidado. Definimos un Punto Crítico como cualquier número $c$ en el dominio tal que:

Tipo 1: Estacionario

f'(c) = 0

Cimas suaves y valles suaves. Es lo más común.

Tipo 2: Singular

f'(c) \text{ no existe}

Picos afilados (como valor absoluto) o tangentes verticales. ¡También pueden ser extremos!

La Trampa de Fermat

¡Cuidado! Que $f'(c)=0$ no garantiza que sea un extremo.
Ejemplo: $f(x) = x^3$ en $x=0$ . La derivada es 0, pero la función sigue subiendo (Punto de Inflexión).
Conclusión: La derivada cero es condición necesaria, pero no suficiente.

Entrenamiento Práctico

1. Análisis Forense de Funciones

Encuentra todos los puntos críticos de la función:
$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$

Ver Procedimiento

1. Derivar: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$ .

2. Igualar a cero (Fermat):
$3(x^2 - 2x - 3) = 0$

3. Factorizar:
$3(x - 3)(x + 1) = 0$

Puntos Críticos:

x = 3

x = -1

CONTEXTO PISA / ECONOMÍA

Maximizando Beneficios

Una empresa de tecnología ha determinado que su beneficio anual $P(x)$ (en millones de dólares) depende de la inversión en publicidad $x$ (en millones) según la fórmula:

$P(x) = -x^2 + 10x - 15$

Misión: Usa el Teorema de Fermat para encontrar la cantidad exacta de inversión que maximiza el beneficio.

Análisis Marginal

Función Objetivo: $P(x)$
Condición de Pico: $P'(x) = 0$
Interpretación:El beneficio deja de crecer y empieza a bajar.

Calcular Inversión Óptima

1. Derivada (Beneficio Marginal)

P'(x) = -2x + 10

2. Igualar a Cero

-2x + 10 = 0

Inversión Óptima

x = 5 \, \text{millones}

Nota: Invertir más de 5 millones reduciría el beneficio total debido a los rendimientos decrecientes.