18. Exponenciales Generales

Aprende a derivar funciones exponenciales con cualquier base y comprende el factor de corrección logarítmico.

Estudiar en la plataforma interactiva
Para empezar

Dos préstamos de $300.000

Yuliana necesita $300.000. Una cooperativa le cobra el 2% mensual y un prestamista informal, el 20% mensual (tasas hipotéticas del libro). Si no paga nada, a los t meses debería 300 000⋅1,02t300\,000 \cdot 1{,}02^t pesos en la cooperativa o 300 000⋅1,2t300\,000 \cdot 1{,}2^t con el prestamista.

¿A qué ritmo crece cada deuda? La variable está en el exponente: no sirve la regla de la potencia. Hace falta la derivada de una exponencial de base cualquiera.

Momento animado

Dos deudas que crecen

La misma plata prestada, con dos tasas distintas. Dale «Reproducir» y compara cómo se empinan las dos curvas.

0123036912millones de pesosmesesprestamista, 20% al mescooperativa, 2% al mes
  • Tangente: su pendiente es el ritmo de la deuda
t = 0,0 meses
Etapas

Etapa 1 de 4 · Hoy

Yuliana debe $300.000. Con la cooperativa la deuda empieza creciendo $5.941 por mes; con el prestamista, $54.696 por mes.

Con el prestamista

$300.000

crece $54.696 por mes

Con la cooperativa

$300.000

crece $5.941 por mes

Ritmo ÷ deuda

18,2% y 1,98%

por mes, en todo momento: ln 1,2 y ln 1,02
La idea

Toda base es una potencia de e

Como b=eln⁡bb = e^{\ln b}, se puede escribir bx=exln⁡bb^x = e^{x \ln b}, y con la regla de la cadena:

Exponenciales y logaritmos de base b
(bx)′=bxln⁡b(log⁡bx)′=1xln⁡b\begin{gathered} (b^x)' = b^x \ln b \\ (\log_b x)' = \frac{1}{x \ln b} \end{gathered}

Con b > 0 y b ≠ 1. Si b = e, ln e = 1 y no queda ningún factor: e es la única base así.

La derivada es la misma función multiplicada por la constante ln b: el ritmo es proporcional a lo que hay, como en las deudas del momento animado. En x = 0 la pendiente es justo ln b. Muévela en el laboratorio:

Laboratorio

La pendiente en el origen

Mueve la base aa. La tangente roja en x=0x = 0 tiene pendiente ln⁡(a)\ln(a): el «impuesto» de la base.

  • f(x)=2xf(x) = 2^x
  • Tangente en x = 0
  • Siempre pasa por (0, 1)
a = 2

Pendiente en 0, ln⁡a\ln a

≈ 0,693

Derivada, f′(x)f'(x)

ln⁡2⋅2x\ln 2\cdot 2^x

Con a = 2 la pendiente en x = 0 es ln 2 ≈ 0,693, no 1. Solo la base e da pendiente exactamente 1.

Un detalle del préstamo: crece un 20% en cada mes completo, pero su tasa en cada instante es ln 1,2 ≈ 18,2% por mes. Lo que crece dentro del mes también genera crecimiento, y al final del mes se acumula el 20%.

Ejemplo resuelto

Una deuda gota a gota

Un prestamista informal le ofrece a Mateo $500.000 al 20% mensual. Si no paga nada, a los t meses debe D(t)=500 000⋅1,2tD(t) = 500\,000 \cdot 1{,}2^t pesos. ¿A qué ritmo crece la deuda a los 6 meses?

  1. 1

    Deriva con la base 1,2

    D′(t)=500 000⋅1,2tln⁡1,2≈0,182 D(t)\begin{aligned} D'(t) &= 500\,000 \cdot 1{,}2^t \ln 1{,}2 \\ &\approx 0{,}182\,D(t) \end{aligned}
  2. 2

    La deuda a los 6 meses

    D(6)=500 000⋅1,26≈1 492 992\begin{aligned} D(6) &= 500\,000 \cdot 1{,}2^6 \\ &\approx 1\,492\,992 \end{aligned}
  3. 3

    Su ritmo

    D′(6)≈0,182⋅1 492 992≈272 205\begin{aligned} D'(6) &\approx 0{,}182 \cdot 1\,492\,992 \\ &\approx 272\,205 \end{aligned}
  4. 4

    Lee el resultado

    A los 6 meses la deuda crece unos $272.205 por mes: más de la mitad de lo que Mateo pidió prestado, cada mes.
Practica

Cualquier base

Los ejercicios 2 a 4 salen de la sección 16.7 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible».

Ejercicio 1: base 5 con regla de la cadena
¿Cuál es la derivada de f(x)=5x2+1f(x) = 5^{x^2 + 1}?
Ejercicio 2: la batería en espera
En modo de espera, la batería de un celular tiene C(t)=100⋅0,96tC(t) = 100 \cdot 0{,}96^t por ciento de carga a las t horas (modelo hipotético del libro). ¿Cuánto vale C′(0)?
Ejercicio 3: logaritmo en base 10
¿Cuál es la derivada de y=log⁡xy = \log x, el logaritmo en base 10?
Ejercicio 4 (tipo Saber 11): la base que da pendiente 2
¿Para qué base b la tangente a y=bxy = b^x en el punto (0, 1) tiene pendiente 2?
Ejercicio 5 (tipo PISA): un modelo que se duplica
En un modelo, el número de transistores de un chip es N(t)=1000⋅20,5tN(t) = 1000 \cdot 2^{0{,}5t}, con t en años: se duplica cada 2 años. ¿Cuál es su ritmo de crecimiento a los 4 años?