17. Maratón de Derivadas | Cálculo Diferencial

Para empezar

¿Tiene techo la población de Colombia?

En 1965 Colombia tenía 18,17 millones de habitantes; en 1995, 35,80, y en 2025, 53,43, según las Naciones Unidas. El libro ajusta a esos tres datos un modelo logístico, con t en años desde 1965:

Modelo logístico del libro (capítulo 13)

P(t) = \frac{71{,}6}{1 + 2{,}94\,e^{-0{,}036t}}

P en millones de personas. 71,6 es el techo del modelo: P(t) se acerca a él sin pasarlo.

¿Cuándo creció más rápido la población? Para saberlo hay que derivar el modelo, y para derivarlo se usan juntas la regla de la potencia, la de la cadena y la de la exponencial. Por eso esta curva es un buen repaso de todo el módulo.

Momento animado

¿Cuándo creció más rápido Colombia?

Arriba, la tangente recorre el modelo de la población. Abajo, su pendiente se vuelve el ritmo, en millones de personas por año. Dale «Reproducir» o arrastra el año.

Datos (Naciones Unidas)
Proyección (Banco Mundial)
Tangente al modelo
Ritmo del modelo

Añoaño 1965

Etapas

Etapa 1 de 5 · 1965

En 1965 Colombia tenía 18,17 millones de habitantes. El modelo pasa por ese dato y su tangente sube unos 0,49 millones por año: ese ritmo es el punto rojo de abajo.

Año

1965

Modelo: 18,2 millones

Ritmo P′(t)

0,49

millones por año

La idea

Primero la forma, después las reglas

Antes de derivar, mira cuál es la última operación que harías al evaluar la función: esa decide la primera regla. En el modelo, lo último es dividir 71,6 entre un bloque u, así que P = 71,6 u⁻¹ y manda la primera regla de la tarjeta. Para derivar u, la segunda.

Las reglas del módulo, con la cadena incluida

\begin{aligned} (u^n)' &= n\,u^{n-1} \cdot u' \\ (e^u)' &= e^u \cdot u' \\ (\ln u)' &= \frac{u'}{u} \\ (\sin u)' &= \cos u \cdot u' \end{aligned}

u es el bloque de adentro y u′ su derivada. Si u = x, u′ = 1 y quedan las reglas de siempre.

La otra estrategia es simplificar antes de derivar. Con las propiedades del logaritmo, $\ln\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} = \frac{1}{2}\ln(x+1) - \frac{1}{2}\ln(x-1)$ , y cada término se deriva de memoria. En el dojo practicas reconocer qué regla manda:

Dojo de reconocimiento

¿Qué regla manda?

0aciertos

¿Cuál es la estrategia principal?

y = (3x^2 + 5)^{100}

Pista: Hay una función 'dentro' de una potencia. Visualiza (bloque)¹⁰⁰.

Ejemplo resuelto

La derivada del modelo, capa por capa

1
Escribe el cociente como potencia del bloque
$\begin{aligned} P &= 71{,}6\,u^{-1} \\ u &= 1 + 2{,}94\,e^{-0{,}036t} \end{aligned}$
2
Por fuera, la regla de la potencia
El exponente −1 baja y queda −2. El bloque de adentro no se toca.
$P' = -71{,}6\,u^{-2} \cdot u'$
3
Por dentro, la cadena con la exponencial
La derivada de $e^{-0{,}036t}$ es $-0{,}036\,e^{-0{,}036t}$ .
$\begin{aligned} u' &= 2{,}94 \cdot (-0{,}036)\,e^{-0{,}036t} \\ &= -0{,}10584\,e^{-0{,}036t} \end{aligned}$
4
Junta y cancela los dos signos menos
71,6 · 0,10584 ≈ 7,58.
$P'(t) \approx \frac{7{,}58\,e^{-0{,}036t}}{(1 + 2{,}94\,e^{-0{,}036t})^2}$
5
Comprueba en 1995 (t = 30)
Como $2{,}94\,e^{-1{,}08} \approx 1$ , el denominador vale casi 4, y P′(30) ≈ 7,58 · 0,3396 ÷ 4 ≈ 0,64 millones por año: el pico del momento animado.

Practica

El modelo, los logaritmos y los cultivos

Mira primero la forma de cada función; después escoge la regla.

Ejercicio 1 (tipo Saber 11): el año del pico

Según el modelo

P(t) = \frac{71{,}6}{1 + 2{,}94e^{-0{,}036t}}

, con t en años desde 1965, la población de Colombia crece más rápido cuando

2{,}94e^{-0{,}036t} = 1

. ¿En qué año pasa eso?

Ejercicio 2: el ritmo máximo

La derivada del modelo es

P'(t) = \frac{71{,}6 \cdot 0{,}036 \cdot 2{,}94e^{-0{,}036t}}{(1 + 2{,}94e^{-0{,}036t})^2}

. En el pico,

2{,}94e^{-0{,}036t} = 1

. ¿Cuánto crecía la población por año en ese momento?

Ejercicio 3: simplificar antes de derivar

Con las propiedades del logaritmo, ¿cuál es la derivada de

y = \ln\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}

, para x > 1?

Ejercicio 4: variable elevada a variable

No hay una regla directa para $y = x^{\sin x}$ : la base y el exponente cambian. Toma logaritmos para bajar el exponente. ¿Cuál es su derivada?

Ejercicio 5 (tipo PISA): bacterias en un cultivo

Una población de bacterias en un cultivo limitado sigue el modelo logístico $P(t) = \frac{1000}{1 + 9e^{-0{,}5t}}$ . Escríbelo como $1000(1 + 9e^{-0{,}5t})^{-1}$ para usar la cadena. ¿Cuál es su ritmo de crecimiento $P'(t)$ ?