16. Funciones Hiperbólicas | Cálculo Diferencial

Para empezar

El cable entre dos postes

Un cable que cuelga entre dos postes, solo con su peso, no forma una parábola, aunque se le parezca. Forma una catenaria, la gráfica del coseno hiperbólico: $y = a\cosh\frac{x}{a}$ .

Para saber qué tan inclinado llega el cable a cada poste hay que derivar cosh. Su nombre se parece al del coseno, y su derivada también se parece, con una diferencia de signo que el momento animado deja ver.

Momento animado

Las pendientes de la catenaria

Arriba, la tangente recorre y = cosh x. Abajo, cada pendiente se vuelve un punto. Dale «Reproducir» o arrastra x.

Tangente en x
Subida con avance 1 = pendiente = altura de abajo

Posición xx = -1,50

Etapas

Etapa 1 de 5 · x = −1,5

A la izquierda el coseno hiperbólico baja: su pendiente es sinh(−1,5) ≈ −2,13. Abajo, el punto rojo queda bajo el eje.

-1,50

f(x) = 2,35

Pendiente f′(x)

-2,13

f baja

La idea

Seno y coseno hiperbólicos

Definiciones y derivadas

\begin{aligned} \cosh x &= \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\ \sinh x &= \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\ (\cosh x)' &= \sinh x \\ (\sinh x)' &= \cosh x \end{aligned}

Sin signos menos. Y en vez de sin² + cos² = 1, se cumple cosh² x − sinh² x = 1.

Se llaman hiperbólicas porque el punto (cosh t, sinh t) recorre la hipérbola x² − y² = 1, como (cos t, sin t) recorre la circunferencia. En el laboratorio puedes comparar la catenaria con la parábola que pasa por los mismos puntos:

Laboratorio

Física de cadenas colgantes

Mueve el parámetro $a$ : con $a$ grande el cable va tenso; con $a$ pequeño cuelga más. Compara la catenaria con la parábola que pasa por los mismos tres puntos.

Catenaria, $y = a\cosh(x/a)$
Parábola, $y = a + kx^2$
Postes

Parámetro de tensión,

a

a = 1,5

Lo que cuelga el cable

3,47

Del poste al punto más bajo

Mayor separación entre las curvas

0,23

Cerca de x = ±2,0

Un cable homogéneo que cuelga solo bajo su propio peso forma una catenaria ( $\cosh$ ), no una parábola. Cuando el cable va tenso, las dos curvas casi coinciden; cuando cuelga mucho, se separan. La parábola aparece cuando la carga se reparte por igual en horizontal, como el tablero de un puente colgante.

Historia: en 1638, Galileo comparó la cadena colgante con una parábola. En 1691, respondiendo a un reto de Jakob Bernoulli, Leibniz, Huygens y Johann Bernoulli hallaron por separado la curva exacta: la catenaria, que hoy se escribe con el coseno hiperbólico.

Ejemplo resuelto

La derivada de cosh, desde su definición

1
Escribe cosh con exponenciales
$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
2
Deriva cada término
La derivada de e⁻ˣ es −e⁻ˣ, por la regla de la cadena.
$(\cosh x)' = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
3
Reconoce el resultado
$(\cosh x)' = \sinh x$
4
Comprueba en x = 0
sinh 0 = (1 − 1)/2 = 0: el fondo del cable tiene tangente horizontal, como en el momento animado.

Practica

Cables y arcos

Usa las dos derivadas, la identidad cosh² − sinh² = 1 y la regla de la cadena.

Ejercicio 1 (tipo Saber 11): la inclinación en el poste

Un cable cuelga según

y = 10\cosh\frac{x}{10}

metros, con el fondo en x = 0 y un poste en x = 10. ¿Cuál es la pendiente del cable en el poste?

Ejercicio 2: con la regla de la cadena

¿Cuál es la derivada de

y = \cosh(2x)

Ejercicio 3: la tangente al seno hiperbólico

¿Cuál es la recta tangente a

y = \sinh x

en el origen?

Ejercicio 4: la tangente hiperbólica

Con la regla del cociente en

\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}

y la identidad

\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1

, ¿cuál es la derivada de tanh x?

Reto tipo PISA: La catenaria del Gateway Arch

El célebre Arco Gateway de St. Louis fue diseñado por Eero Saarinen con la forma de una catenaria invertida, para que su peso se transmita a lo largo del arco principalmente por compresión.

Un modelo simplificado de su perfil (en metros) es:

y(x) = -39 \cosh\left(\frac{x}{39}\right) + 231

Pregunta tipo PISA: Calcula la inclinación estructural (la pendiente tangencial $y'$ ) a una distancia horizontal de 39 metros del centro ( $x = 39$ ).

Identidad de Derivación

Fórmula:

(\cosh u)' = \sinh(u) u'

Abscisa:x = 39 m

Valor sinh(1):≈ 1,1752