15. Modelización del Movimiento

Un bus eléctrico sale de una estación y se detiene en la siguiente. Supón que a los t segundos ha recorrido $s(t) = 0{,}6\,t^2 - 0{,}008\,t^3$ metros, para 0 ≤ t ≤ 50 (datos hipotéticos del libro).

Con esa sola fórmula se puede contar todo el viaje: dónde está el bus, qué tan rápido va, si acelera o frena y cuándo llega. Modelizar es eso: leer una función y sus derivadas como un relato, con sus unidades.

• Si v > 0, el móvil avanza; si v < 0, retrocede; si v = 0, está quieto en ese instante.
• Si v y a tienen el mismo signo, va cada vez más rápido. Si tienen signos opuestos, frena.
• Para pasar de m/s a km/h se multiplica por 3,6, porque 1 m/s son 3.600 m en una hora.

En el laboratorio, una partícula sobre un riel sigue $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$: avanza, se devuelve y vuelve a avanzar. Mira el signo de v en cada tramo.

Calcula s(20), v(20) y a(20) con sus unidades, da v(20) en km/h y explica qué está haciendo el bus.

1. 1

   Posición

   $$\begin{aligned} s(20) &= 0{,}6\cdot 400 \\ &\quad - 0{,}008\cdot 8000 \\ &= 240 - 64 = 176\ \text{m} \end{aligned}$$
2. 2

   Velocidad

   $$\begin{aligned} v(20) &= 1{,}2\cdot 20 - 0{,}024\cdot 400 \\ &= 14{,}4\ \text{m/s} \end{aligned}$$
3. 3

   Aceleración

   $$\begin{aligned} a(20) &= 1{,}2 - 0{,}048\cdot 20 \\ &= 0{,}24\ \text{m/s}^2 \end{aligned}$$
4. 4

   En km/h

   $$14{,}4 \cdot 3{,}6 \approx 51{,}8\ \text{km/h}$$
5. 5

   Lee el resultado

   Está a 176 m de la estación, va a unos 52 km/h y todavía acelera, pero poco: cada segundo gana 0,24 m/s. Cinco segundos después dejará de acelerar y empezará a frenar.

Los ejercicios 1 a 3 salen de la sección 14.7 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible».