15. Modelización del Movimiento | Cálculo Diferencial

El Lenguaje del Movimiento

Isaac Newton desarrolló el cálculo en gran parte para describir cómo se mueven las cosas. Si conocemos la posición de un objeto en cualquier instante $t$ , podemos saberlo todo sobre su movimiento usando derivadas.

Posición $s(t)$

Dónde está el objeto (metros, km).

Velocidad $v(t)$

Qué tan rápido cambia la posición.
$v(t) = s'(t)$

Aceleración $a(t)$

Qué tan rápido cambia la velocidad.
$a(t) = v'(t) = s''(t)$

Laboratorio de Partículas

Analicemos una partícula que se mueve según $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ . Observa cómo la partícula avanza, se detiene, retrocede y vuelve a avanzar.

t = 0.00s

Posición s(t)

0.00 m

Velocidad v(t)

9.00 m/s

Derecha

Aceleración a(t)

-12.00 m/s²

Estado: Frenando

Función: s(t) = t³ - 6t² + 9t

¿Cuándo acelera (Speeding Up)?

Cuando la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo. Ambos empujan en la misma dirección.

¿Cuándo frena (Slowing Down)?

Cuando tienen signos opuestos. La aceleración lucha contra la velocidad.

Entrenamiento Práctico

1. Análisis de Trayectoria

Una partícula se mueve según la ecuación $s(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t$ (para $t \ge 0$ ).
Encuentra los intervalos de tiempo donde la partícula se mueve hacia la izquierda.

Ver Solución Analítica

1. Hallar la velocidad $v(t) = s'(t)$ :
$v(t) = 6t^2 - 18t + 12$

2. Encontrar puntos críticos ( $v(t) = 0$ ):
$6(t^2 - 3t + 2) = 0 \rightarrow 6(t-1)(t-2) = 0$
Se detiene en $t=1$ y $t=2$ .

3. Analizar signos (Diagrama de cementerio):
- Entre $0 < t < 1$ : $v > 0$ (Derecha)
- Entre $1 < t < 2$ : $v < 0$ (Izquierda)
- Para $t > 2$ : $v > 0$ (Derecha)

Respuesta: Intervalo (1, 2)

CONTEXTO PISA / SEGURIDAD VIAL

Frenado de Emergencia

Un vehículo autónomo detecta un obstáculo y aplica los frenos. Su posición durante el frenado está dada por $s(t) = 20t - 2t^2$ metros, donde $t$ son segundos desde que inicia el frenado.

Misión: Determina cuánto tiempo tarda en detenerse por completo y qué distancia total recorrió antes de parar.

Telemetría del Vehículo

Modelo Posición: $s(t) = 20t - 2t^2$
Condición de Parada: $v(t) = 0$

Verificar Informe de Accidente

1. Tiempo de Frenado

Derivamos para obtener velocidad e igualamos a 0.

v(t) = 20 - 4t = 0

t = 5 \, s

2. Distancia Total

Evaluamos la posición en t=5.

s(5) = 20(5) - 2(5)^2

100 - 50 = 50 \, m

Conclusión: El vehículo necesita 50 metros libres para evitar el impacto.