14. Linealización y Diferenciales

Sin calculadora, ¿cuánto es √4,1? Sabes que √4 = 2, y 4,1 está muy cerca de 4. Si supieras a qué ritmo crece la raíz cerca de 4, podrías estimar cuánto sube al pasar a 4,1.

Esa es la idea de la linealización: cerca de un punto, una curva se parece tanto a su tangente que se puede usar la recta en vez de la curva. El microscopio de abajo muestra qué tan cerca.

La tangente en x = a pasa por (a, f(a)) con pendiente f′(a). Cerca de a, sus valores casi coinciden con los de f:

Con $f(x) = \sqrt{x}$ y a = 4: f(4) = 2 y $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt 4} = 0{,}25$. Entonces $\sqrt{4{,}1} \approx 2 + 0{,}25\cdot 0{,}1 = 2{,}025$, y el valor exacto es 2,02485…

Al cambio de la tangente se le llama diferencial: $dy = f'(x)\,dx$. Sirve para estimar cuánto se propaga un error de medición. Mueve x en el visualizador y compara la curva con la recta lejos y cerca de 4.

A un tanque de agua lluvia le quedan $V(t) = 500 - 40t + 0{,}8\,t^2$ litros a los t minutos (modelo hipotético del libro). Estima cuánta agua habrá a los 11 minutos con V(10) y V′(10), y compara con el valor exacto.

1. 1

   El valor en el punto conocido

   $$\begin{aligned} V(10) &= 500 - 400 + 80 \\ &= 180\ \text{L} \end{aligned}$$
2. 2

   La derivada en ese punto

   $$\begin{gathered} V'(t) = -40 + 1{,}6\,t \\ V'(10) = -24\ \text{L/min} \end{gathered}$$
3. 3

   Avanza un minuto por la tangente

   $$\begin{aligned} V(11) &\approx 180 + (-24)(1) \\ &= 156\ \text{L} \end{aligned}$$
4. 4

   Compara con el valor exacto

   El error es de 0,8 L: la tangente aproxima bien porque el ritmo cambia poco en un minuto.

   $$\begin{aligned} V(11) &= 500 - 440 + 96{,}8 \\ &= 156{,}8\ \text{L} \end{aligned}$$

Los ejercicios 4 y 5 salen de la sección 14.7 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible».