13. Taller de Tasas Relacionadas

Junto a muchos dispensadores de agua hay vasos de papel en forma de cono. Si llenas uno con el chorro parejo de la llave, el agua sube rapidísimo al principio y al final casi no avanza. Pero el chorro es el mismo de principio a fin.

¿Por qué cambia el ritmo al que sube el agua, si el agua entra siempre igual? Lo vas a ver con un tanque cónico de 2 m de radio arriba y 4 m de alto, al que le entran 2 m³ de agua por minuto.

Mira el disco amarillo. En un instante muy corto $\Delta t$ entra un poquito de agua, $\Delta V = \frac{dV}{dt}\,\Delta t$. Esa agua se acuesta sobre el disco como una capa delgada: su volumen es el área del disco por el grosor de la capa, $\Delta V \approx \pi r^2\,\Delta h$. Si el disco es grande, la capa sale delgada y el nivel casi no sube.

La misma fórmula sale derivando. El cono del agua y el tanque son semejantes (los dos triángulos del dibujo), así que $\frac{r}{h} = \frac{R}{H}$ y $r = \frac{R}{H}\,h$. Con eso el volumen queda solo con h:

La altura cambia con el tiempo, así que al derivar respecto a t aparece $\frac{dh}{dt}$ (regla de la cadena): $\frac{dV}{dt} = \pi\left(\frac{R}{H}\right)^2 h^2\,\frac{dh}{dt} = \pi r^2\,\frac{dh}{dt}$. Al despejar sale la fórmula de arriba.

Un tanque cónico con el vértice abajo tiene 2 m de radio arriba y 4 m de altura. Le entra agua a 2 m³ por minuto. ¿Qué tan rápido sube el nivel cuando el agua tiene 3 m de profundidad?

1. 1

   Nombra lo que cambia y lo que no

   Cambian el volumen V, la altura h y el radio r del agua. El tanque (R = 2 m y H = 4 m) no cambia. Conoces dV/dt y buscas dh/dt.

   $$\begin{gathered} \frac{dV}{dt} = 2\ \text{m}^3/\text{min} \\ \frac{dh}{dt} = \ ?\ \text{cuando } h = 3 \end{gathered}$$
2. 2

   Semejanza: el radio en función de la altura

   $$\frac{r}{h} = \frac{2}{4} \;\Rightarrow\; r = \frac{h}{2}$$
3. 3

   El volumen, solo con h

   $$V = \frac{1}{3}\pi\left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{12}$$
4. 4

   Deriva respecto a t

   h cambia con el tiempo: la derivada de h³ es 3h² por dh/dt.

   $$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{12}\cdot 3h^2\,\frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{4}\,\frac{dh}{dt}$$
5. 5

   Ahora sí, reemplaza el instante h = 3

   $$\begin{gathered} 2 = \frac{9\pi}{4}\,\frac{dh}{dt} \\ \frac{dh}{dt} = \frac{8}{9\pi} \approx 0{,}283\ \text{m/min} \end{gathered}$$
6. 6

   Lee y comprueba el resultado

   En ese instante el agua sube unos 28 cm por minuto. Con la idea del disco: r = 1,5 m, el disco mide π · 1,5² ≈ 7,07 m² y 2 ÷ 7,07 ≈ 0,283. Coincide con la pausa del momento animado.

Las mismas dos herramientas, una relación que vale en todo instante (semejanza, Pitágoras o trigonometría) y la regla de la cadena al derivar respecto a t, resuelven también sombras que se alargan y antenas que giran.