13. Taller de Tasas Relacionadas | Cálculo Diferencial

Más allá de Pitágoras

En la lección anterior vimos problemas directos (esferas, Pitágoras simple). Ahora entraremos en terreno avanzado. ¿Qué pasa cuando tenemos demasiadas variables o cuando lo que cambia es un ángulo?

Reto 1: Geometría Oculta

En problemas de tanques cónicos o sombras, necesitas usar Semejanza de Triángulos para eliminar una variable (generalmente el radio $r$ ) antes de derivar.

Reto 2: Ángulos de Visión

Si un cohete despega o un avión pasa, el ángulo de tu mirada cambia. Aquí usaremos derivadas de funciones trigonométricas ( $\tan \theta, \sin \theta$ ).

El Problema del Tanque Cónico

Este es el "Jefe Final" de muchos exámenes. Tienes agua entrando a un tanque cónico. El volumen depende de $r$ y $h$ :

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

El Problema: Si derivas ahora, tendrás $dr/dt$ y $dh/dt$ . Generalmente no conoces $dr/dt$ .
La Solución: Usa la geometría del tanque para expresar $r$ en términos de $h$ antes de derivar.

Geometría Dinámica

El secreto de los conos: Aunque $r$ y $h$ cambian, su proporción es eterna.

Relación (r/h)

0.50

Constante (Semejanza)

Volumen

7.1 m³

Truco Experto:

r = \frac{5}{10}h = 0.5h

Sustituye esto en la fórmula de Volumen ANTES de derivar.

Error Común

No confundas las dimensiones del tanque (constantes, ej: Radio=5, Altura=10) con las dimensiones del agua (variables $r, h$ ). Usa las constantes solo para hallar la proporción.

Taller Práctico

1. El Caminante y la Sombra

Semejanza

Un hombre de 1.8 m de estatura camina alejándose de una farola de 6 m de altura a una velocidad de $1.5 \, m/s$ . ¿A qué velocidad crece la longitud de su sombra?

x (distancia)s (sombra)

Ver Planteamiento Geométrico

Por semejanza de triángulos (Grande vs Pequeño):

\frac{6}{x+s} = \frac{1.8}{s}

Despejamos para relacionar variables:

$6s = 1.8(x+s) \rightarrow 4.2s = 1.8x$

Derivamos respecto a $t$ :

4.2 \frac{ds}{dt} = 1.8 \frac{dx}{dt}

Sustituimos $dx/dt = 1.5$ :

$\frac{ds}{dt} = \frac{1.8(1.5)}{4.2} \approx 0.64 \, m/s$

CONTEXTO PISA / AEROESPACIAL

Rastreo de Satélite

Una estación de radar en tierra rastrea un cohete que despega verticalmente. El radar está situado a 3 km de la plataforma de lanzamiento.

Pregunta: ¿A qué velocidad cambia el ángulo de elevación ( $\theta$ ) del radar cuando el cohete está a 4 km de altura y sube a $2000 \, km/h$ ?

Datos de Misión

Distancia Radar-Base (x):3 km (Cte)
Altura Cohete (y):4 km (Instante)
Velocidad Ascenso (dy/dt):2000 km/h

Desplegar Solución Trigonométrica

1. Relación Trigonométrica

Usamos tangente porque relaciona cateto opuesto (y) y adyacente (3).

\tan(\theta) = \frac{y}{3}

2. Derivada Implícita

Recuerda: $\frac{d}{dt}(\tan u) = \sec^2 u \cdot u'$

\sec^2(\theta) \cdot \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{3} \frac{dy}{dt}

3. Cálculo Final

Necesitamos $\cos \theta$ para hallar $\sec \theta$ . Hipotenusa = 5 (triángulo 3-4-5).
$\cos \theta = 3/5 \Rightarrow \sec \theta = 5/3$ .

(\frac{5}{3})^2 \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{3}(2000)

\frac{d\theta}{dt} = 240 \, rad/h