12. Tasas Relacionadas (Intro) | Cálculo Diferencial

Todo está Conectado

En el mundo real, las variables rara vez cambian de forma aislada. Si inflas un globo, al aumentar el radio, obligas al volumen a aumentar. Si una escalera resbala por la pared, al bajar la punta superior, obligas a la base a alejarse.

En Cálculo, llamamos a esto Tasas Relacionadas. El secreto es que todas las variables ( $x, y, V, r$ ) son funciones implícitas del tiempo $t$ .

La Variable Oculta: Tiempo

Ya no derivamos respecto a $x$ . Ahora derivamos respecto a $t$ .
$\frac{d}{dt}(x^2) = 2x \cdot \frac{dx}{dt}$

Regla de la Cadena

Siempre que derives una letra que no sea $t$ , debes multiplicar por su derivada temporal ( $x', y', r'$ ). Es el "apellido" de la derivada.

Concepto Clave

"No sustituyas valores numéricos constantes ANTES de derivar, a menos que esa cantidad nunca cambie durante todo el proceso."

Laboratorio: La Esfera en Expansión

Analicemos el caso clásico: Un globo esférico. Sabemos que $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ . Si derivamos ambos lados respecto al tiempo $t$ , obtenemos la relación entre sus velocidades:

\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt}

"La velocidad del volumen depende del cuadrado del radio actual"

r=1.0

Monitor de Tasas

Observa cómo la velocidad del volumen se dispara aunque el radio crece constante.

Radio (r)

1.00 cm

dr/dt = Cte

Tasa Volumen (dV/dt)

1.3 cm³/s

¡Acelerando!

\frac{dV}{dt} = 4\pi (1.0)^2 \cdot k

Conocimiento Experto

Nota cómo al final de la simulación, el volumen crece explosivamente. Por eso, en ingeniería, pequeñas grietas (radio pequeño) crecen lento, pero una vez superan cierto tamaño, la falla es catastrófica (crecimiento rápido).

Protocolo de Resolución

Para resolver cualquier problema de tasas relacionadas sin perderte, sigue estos 5 pasos sagrados:

Dibujar y Etiquetar

Dibuja la situación. Asigna letras (x, y, h) a lo que cambia. Pon números SOLO a lo que es constante siempre.

Identificar Tasas

Escribe qué tasa conoces (ej: dx/dt = 5) y cuál buscas (ej: dy/dt = ?).

\text{Datos: } \frac{dx}{dt}=2, \; \text{Incógnita: } \frac{dy}{dt}

Ecuación de Enlace

Encuentra una fórmula geométrica que relacione tus variables (Pitágoras, Área, Trig).

x^2 + y^2 = h^2

Derivar Implícitamente

Deriva ambos lados respecto a t. ¡No olvides la regla de la cadena!

2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0

Sustituir y Despejar

Ahora sí, sustituye los valores del instante específico ('instántanea') y despeja.

Entrenamiento Práctico

Clásico de Examen

1. La Escalera Deslizante

Una escalera de 5 metros de largo está apoyada contra una pared vertical. Si la base de la escalera se desliza alejándose de la pared a una razón de $0.8 \, m/s$ , ¿a qué velocidad baja el extremo superior cuando la base está a 3 metros de la pared?

Ver Solución Paso a Paso

1. Planteamiento

Sea $x$ la distancia base-pared y $y$ la altura.
Longitud escalera $L=5$ (Constante).
Dato: $\frac{dx}{dt} = 0.8$ . Buscamos: $\frac{dy}{dt}$ .

x^2 + y^2 = 5^2

2. Derivada

Derivamos respecto a $t$ :

2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0

Simplificando: $x x' + y y' = 0$

3. Resolución en el instante x=3

Si $x=3$ , por Pitágoras $y = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ .

3(0.8) + 4(\frac{dy}{dt}) = 0

2.4 + 4y' = 0

y' = -0.6 \, m/s

El signo negativo confirma que la escalera está bajando.

CONTEXTO PISA / INGENIERÍA

Control de Desastre Ambiental

Un buque petrolero ha encallado y está derramando crudo, formando una mancha circular en el océano. Los equipos de emergencia estiman que el área de la mancha crece a una tasa constante de $50 \pi \, m^2/min$ .

Misión: Para desplegar las barreras de contención correctamente, necesitas calcular la velocidad a la que avanza el borde de la mancha (el radio) en el instante exacto en que el radio es de 25 metros.

Datos de Telemetría

Modelo Geométrico: $A = \pi r^2$
Tasa de Área ( $A'$ ): $50\pi$
Instante Crítico: $r = 25$

Verificar Cálculo de Ingeniería

1. Derivada Temporal

\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}

2. Sustitución

50\pi = 2\pi(25) \frac{dr}{dt}

Velocidad Radial

1 \, m/min

Interpretación: El radio crece a 1 metro por minuto en ese instante.