12. Tasas Relacionadas (Intro)

Recuesta una escalera contra la pared y jala la base hacia afuera, siempre al mismo paso. La punta no baja al mismo paso: al principio casi no se mueve y al final cae de golpe.

La base y la punta están atadas por la escalera, que no se estira. Por eso sus ritmos también están atados. ¿Cómo se calcula el ritmo de la punta si conoces el de la base? Eso es una tasa relacionada.

La escalera mide 5 m. Si la base está a x metros de la pared y la punta a y metros del piso, Pitágoras se cumple en todo instante: $x^2 + y^2 = 25$. Como x y y cambian con el tiempo, se puede derivar esa ecuación respecto a t.

Cada variable, al derivarla respecto a t, trae su propio ritmo (es la regla de la cadena): $\frac{d}{dt}\left(x^2\right) = 2x\,\frac{dx}{dt}$. Entonces:

Eso es lo que mostró el momento animado. Al principio x es pequeño y y grande, así que el factor x/y es menor que 1 y la punta baja más despacio que la base. En x = y valen lo mismo. Cerca del piso, y es pequeño y el factor se dispara. El signo menos dice que y disminuye mientras x aumenta.

Una escalera de 5 m está apoyada en una pared. Su base se aleja a 0,8 m/s. ¿A qué ritmo baja la punta cuando la base está a 3 m de la pared?

1. 1

   Dibuja y nombra lo que cambia

   x es la distancia de la base a la pared y y la altura de la punta. Los dos cambian. La escalera (5 m) no cambia: va como número.
2. 2

   Escribe lo que sabes y lo que buscas

   $$\begin{gathered} \frac{dx}{dt} = 0{,}8\ \text{m/s} \\ \frac{dy}{dt} = \ ?\ \text{cuando } x = 3 \end{gathered}$$
3. 3

   Una ecuación que valga en todo instante

   $$x^2 + y^2 = 25$$
4. 4

   Deriva respecto a t, antes de reemplazar

   $$2x\,\frac{dx}{dt} + 2y\,\frac{dy}{dt} = 0$$
5. 5

   Ahora sí, el instante x = 3

   Por Pitágoras, cuando x = 3 la punta está en y = √(25 − 9) = 4.

   $$\begin{gathered} 2(3)(0{,}8) + 2(4)\,\frac{dy}{dt} = 0 \\ \frac{dy}{dt} = -\frac{4{,}8}{8} = -0{,}6\ \text{m/s} \end{gathered}$$

La punta baja a 0,6 m/s en ese instante: más despacio que la base, porque x/y = 3/4. El signo menos dice que baja. Es la pausa del momento animado.

En cada problema busca primero la ecuación que ata las cantidades en todo instante. Después la derivas respecto a t y al final reemplazas el instante.