11. Derivadas de Orden Superior

Explorando la segunda derivada, la física del movimiento y la geometría de la curvatura.

Estudiar en la plataforma interactiva
Para empezar

El bus entre dos estaciones

Un bus eléctrico sale de una estación y se detiene en la siguiente, a 500 m. Supón que a los t segundos ha recorrido s(t)=0,6 t2−0,008 t3s(t) = 0{,}6\,t^2 - 0{,}008\,t^3 metros, para 0 ≤ t ≤ 50 (datos hipotéticos del libro).

La derivada de s es la velocidad. Pero la velocidad también cambia: ¿a qué ritmo cambia la velocidad? Para saberlo se deriva otra vez. Esa es la segunda derivada.

Momento animado

La derivada de la derivada

Arriba va el bus. Debajo, la posición, la velocidad y la aceleración se dibujan juntas. Dale «Reproducir».

0 m500 m0250500s (m)0816v = s′ (m/s)-101a = v′ (m/s²)1020304050t (s)
  • Tangente: su pendiente es la gráfica de abajo
t = 0,0 s
Etapas

Etapa 1 de 5 · Sale

El bus sale de la estación: s = 0 y v = 0, pero a = 1,2 m/s². Ya está acelerando. La aceleración es la pendiente de la gráfica de la velocidad.

Posición s

0 m

0,6t² − 0,008t³

Velocidad v = s′

0,0 m/s

0 km/h, más o menos

Aceleración a = v′ = s″

1,20 m/s²

1,2 − 0,048t
La idea

Derivar otra vez

La segunda derivada es la derivada de la derivada: f′′(x)=(f′)′(x)f''(x) = (f')'(x), también escrita d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}. Se puede seguir: f′′′f''', f(4)f^{(4)}, … En el bus,

Posición, velocidad y aceleración
s(t)=0,6 t2−0,008 t3v(t)=s′(t)=1,2 t−0,024 t2a(t)=s′′(t)=1,2−0,048 t\begin{aligned} s(t) &= 0{,}6\,t^2 - 0{,}008\,t^3 \\ v(t) = s'(t) &= 1{,}2\,t - 0{,}024\,t^2 \\ a(t) = s''(t) &= 1{,}2 - 0{,}048\,t \end{aligned}

La segunda derivada también dice cómo se curva una gráfica. Si f′′>0f'' > 0, las pendientes crecen y la gráfica es cóncava hacia arriba; si f′′<0f'' < 0, es cóncava hacia abajo. Donde la concavidad cambia hay un punto de inflexión: en el bus, a los 25 s, justo donde la velocidad es máxima.

Prueba otro movimiento en el laboratorio:

Laboratorio

Cascada cinemática

Mueve el tiempo tt. Mira las tres curvas en el mismo instante: la velocidad es la pendiente de la posición, y la aceleración, la pendiente de la velocidad.

  • Posición s(t)
  • Velocidad v(t) = s′(t)
  • Aceleración a(t) = s′′(t)
t = 1,5 s

Posición

1,13

Velocidad

-0,75

Aceleración

-1,00

Retrocede (v < 0). Cóncava hacia abajo (s′′ < 0).

Ejemplo resuelto

Concavidad de un polinomio

Estudia la concavidad de f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 y clasifica sus puntos críticos con la segunda derivada.

  1. 1

    Primera y segunda derivada

    f′(x)=3x2−6x−9f′′(x)=6x−6=6(x−1)\begin{gathered} f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 \\ f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1) \end{gathered}
  2. 2

    Signo de la segunda derivada

    Si x < 1, f″ < 0 y f es cóncava hacia abajo; si x > 1, es cóncava hacia arriba. En x = 1 cambia la concavidad: el punto de inflexión es (1, f(1)) = (1, −6).
  3. 3

    Puntos críticos

    f′(x) = 3(x + 1)(x − 3) = 0 en x = −1 y x = 3.
  4. 4

    Clasifícalos con f″

    f′′(−1)=−12<0maˊximo local en x=−1f′′(3)=12>0mıˊnimo local en x=3\begin{gathered} f''(-1) = -12 < 0 \\ \text{máximo local en } x = -1 \\ f''(3) = 12 > 0 \\ \text{mínimo local en } x = 3 \end{gathered}
Practica

Segundas derivadas

Los ejercicios 1 a 4 salen de la sección 15.4 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible».

Ejercicio 1: el momento de mayor velocidad
Para el bus, s(t)=0,6t2−0,008t3s(t) = 0{,}6t^2 - 0{,}008t^3 con 0 ≤ t ≤ 50. ¿Dónde tiene s un punto de inflexión y qué pasa ahí?
Ejercicio 2: derivar dos veces
¿Cuál es f′′(x)f''(x) si f(x)=x4−2x3+5xf(x) = x^4 - 2x^3 + 5x?
Ejercicio 3: el punto de inflexión
¿Cuál es el punto de inflexión de f(x)=x3−6x2+4f(x) = x^3 - 6x^2 + 4?
Ejercicio 4 (tipo Saber 11): máximos y mínimos con f″
Los puntos críticos de f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x están en x = −1 y x = 1. ¿Qué dice la segunda derivada?
Ejercicio 5: el patrón de las derivadas
¿Cuál es la derivada de orden n de f(x)=e3xf(x) = e^{3x}?
Reto tipo PISA: Frenado de un tren de alta velocidad

Un vagón de pruebas de levitación magnética (sin pasajeros) aplica su frenado de emergencia. La posición de la cabina (en metros) desde el inicio de la maniobra viene definida por la ley cúbica:

s(t)=60t−12t3s(t) = 60t - \frac{1}{2}t^3

Pregunta tipo PISA: El tren se detiene por completo en el instante tpt_p en que su velocidad instantánea se anula (v(tp)=0v(t_p) = 0). Determina la aceleración del convoy en ese momento exacto:

Ruta de Cálculo

1. v(t)=s′(t)=0  ⟹  tpv(t) = s'(t) = 0 \implies t_p

2. a(t)=s′′(t)=v′(t)a(t) = s''(t) = v'(t)

3. Evalúa a(tp)a(t_p)