10. Derivada de Logaritmos | Cálculo Diferencial

Para empezar

El hielo, en porcentaje

Según el IDEAM, los seis glaciares de Colombia sumaban 36,57 km² en 2019 y 34,20 km² en 2021. ¿Qué porcentaje de su hielo perdían por año hacia 2020?

Para medir un cambio en porcentaje, sirve el logaritmo. La derivada de ln A es A′/A, la fracción de lo que hay que cambia por unidad de tiempo. Primero hay que saber cómo cambia ln x.

Fuente: IDEAM, «Glaciares en Colombia, área y cobertura glaciar» (Indicador Ambiental de Área y Cambio de Cobertura Glaciar 2024).

Momento animado

Las pendientes del logaritmo

Arriba, la tangente recorre y = ln x. Abajo, cada pendiente se vuelve un punto. Dale «Reproducir» o arrastra x.

Tangente en x
Subida con avance 1 = pendiente = altura de abajo

Posición xx = 0,50

Etapas

Etapa 1 de 5 · x = 0,5

Cerca de 0 el logaritmo sube empinado: en x = 0,5 su pendiente es 2. Abajo, el punto rojo queda a altura 2.

0,50

f(x) = -0,69

Pendiente f′(x)

2,00

f sube

La idea

La derivada de ln x es 1/x

Para x > 0

\begin{gathered} (\ln x)' = \frac{1}{x} \\ (\ln u)' = \frac{u'}{u} \end{gathered}

La segunda es la regla de la cadena. Y como (ln f)′ = f′/f, la derivada del logaritmo de una cantidad es su tasa relativa.

Se demuestra derivando $e^{\ln x} = x$ con la regla de la cadena: $e^{\ln x}\,(\ln x)' = 1$ , o sea $x\,(\ln x)' = 1$ . Con el explorador puedes comparar la pendiente de ln x con 1/x en cualquier punto:

Laboratorio

La huella del logaritmo

Mueve $x$ . La pendiente de la tangente a $\ln x$ (verde) es igual a la altura de la curva $\tfrac{1}{x}$ en ese mismo $x$ .

$y = \ln x$
La derivada, $y = \tfrac{1}{x}$
Tangente a ln x

Valor de prueba,

x

x = 2

Pendiente de la tangente

≈ 0,500

Altura de $\tfrac{1}{x}$

≈ 0,500

\tfrac{1}{2}

En x = 2: ln x ≈ 0,693 y la pendiente es 1/2 ≈ 0,500. Mientras x crece, ln x sigue subiendo sin tope, pero cada vez más despacio: su pendiente 1/x se hace pequeña. Crece más lento que cualquier potencia de x.

Con los glaciares: $\frac{\ln 34{,}20 - \ln 36{,}57}{2} \approx -0{,}0335$ . Hacia 2020 el hielo disminuía un 3,35% por año.

Ejemplo resuelto

Derivar xˣ con el logaritmo

En $y = x^x$ la variable está en la base y en el exponente: no sirve la regla de la potencia ni la de la exponencial. El logaritmo lo resuelve (x > 0).

1
Saca logaritmo a los dos lados
$\ln y = x \ln x$
2
Deriva respecto a x
A la izquierda, (ln y)′ = y′/y; a la derecha, la regla del producto.
$\frac{y'}{y} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$
3
Despeja y′
$\begin{aligned} y' &= y\,(\ln x + 1) \\ &= x^x(\ln x + 1) \end{aligned}$
4
Comprueba en x = 1
y = 1 y y′ = 1 · (0 + 1) = 1: en (1, 1) la gráfica de xˣ sube con pendiente 1.

Practica

Logaritmos y tasas relativas

Los ejercicios 1 a 3 salen de la sección 16.6 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible».

Ejercicio 1: logaritmo con algo adentro

¿Cuál es la derivada de

y = \ln(x^2 + 4)

Ejercicio 2: la tangente en e

¿Cuál es la recta tangente a

y = \ln x

en x = e?

Ejercicio 3 (tipo Saber 11): el glaciar del Ruiz

Según el IDEAM, el glaciar del Ruiz tenía 7,68 km² en 2022 y 7,17 km² en 2024. Con la diferencia centrada de ln A, ¿qué porcentaje de hielo perdía por año hacia 2023?

Ejercicio 4: expandir antes de derivar

Usa las propiedades de los logaritmos y halla la derivada de

f(x) = \ln\left(\dfrac{x^3}{\sqrt{x - 1}}\right)

Reto tipo PISA: La escala de decibeles

El oído humano percibe la intensidad del sonido en escala logarítmica. El nivel sonoro $L$ (en decibeles) de una onda de intensidad $I$ (en W/m²) es:

L(I) = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right), \qquad I_0 = 10^{-12} \ \text{W/m}^2

Calcula $\frac{dL}{dI}$ e interpreta por qué una persona escucha caer un alfiler en una biblioteca, pero no nota una voz alta en medio de un concierto de rock.