10. Derivada de Logaritmos | Cálculo Diferencial

La Simplicidad Sorprendente

De todas las funciones complicadas en matemáticas, el logaritmo natural ( $\ln x$ ) tiene una de las derivadas más limpias y elegantes.

La Fórmula de Oro

\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}

Piénsalo: El logaritmo crece por siempre, pero cada vez más lento. Su "velocidad de crecimiento" es inversamente proporcional a su tamaño actual. Si estás en $x=10$ , creces a un ritmo de $1/10$ .

La Huella del Logaritmo

Mueve el punto. Observa cómo la pendiente de la curva azul (ln x) coincide EXACTAMENTE con la altura de la curva naranja (1/x).

f(x) = ln(x)0.69

f'(x) = 1/x0.50

x = 0.5 (Pendiente empinada)x = 5.5 (Pendiente suave)

Concepto Clave

"Importante: Esta fórmula solo funciona si el argumento es positivo. En general, d/dx ln|x| = 1/x. Esto será crucial cuando aprendas a integrar."

Extendiendo la Regla

Raramente derivamos solo $\ln(x)$ . Usualmente tenemos una función dentro, como $\ln(x^2 + 1)$ . Aquí entra la Regla de la Cadena.

Regla de la Cadena para ln

\frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{u'}{u}

"La derivada de lo de adentro, dividida por lo de adentro tal cual."

¿Base distinta a 'e'?

\frac{d}{dx} \log_a(x) = \frac{1}{x \ln(a)}

Aparece un factor de corrección $\ln(a)$ en el denominador.

Consejo de Experto: No memorices la derivada de

\log_2(x)

. Simplemente usa la propiedad de cambio de base:

\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}

.
Como

\frac{1}{\ln(a)}

es constante, solo derivas

\ln(x)

. ¡Es mucho más seguro!

El Superpoder: Derivación Logarítmica

¿Qué pasa si tienes $y = x^x$ ?
No es una potencia ( $x^n$ ) porque el exponente cambia.
No es una exponencial ( $b^x$ ) porque la base cambia.
Solución: Aplica $\ln$ a ambos lados para bajar el exponente.

Paso 1: Logaritmos

Aplicamos $\ln$ a ambos lados:

\ln(y) = \ln(x^x)

Paso 2: Propiedad

Bajamos el exponente:

\ln(y) = x \cdot \ln(x)

Paso 3: Derivación

Derivada implícita (izquierda) y de producto (derecha):

\frac{y'}{y} = (1)\cdot\ln(x) + x\cdot\left(\frac{1}{x}\right)

\frac{y'}{y} = \ln(x) + 1

Paso 4: Resultado

Despejamos $y'$ y sustituimos $y$ :

y' = x^x(\ln(x) + 1)

Concepto Clave

"Usa esta técnica cuando tengas 'funciones elevadas a funciones' o productos/cocientes monstruosos con muchas raíces."

Ejercicio Técnico

Encuentra $f'(x)$ para la función:

f(x) = \ln\left( \frac{x^3}{\sqrt{x-1}} \right)

Pista: Si intentas derivar directamente será una pesadilla. Usa las propiedades de los logaritmos para "romper" la fracción primero.

Ver Estrategia

1. Simplificar (Expandir):

El logaritmo de una división es la resta de logaritmos. El log de una potencia baja el exponente.

f(x) = \ln(x^3) - \ln((x-1)^{1/2})

f(x) = 3\ln(x) - \frac{1}{2}\ln(x-1)

2. Derivar (Trivial):

f'(x) = 3(\frac{1}{x}) - \frac{1}{2}(\frac{1}{x-1})

¡Mucho más fácil que usar la regla de la cadena completa!

Reto PISA

La Escala de Decibeles

El oído humano percibe el sonido de forma logarítmica. La sonoridad $L$ (en decibeles, dB) se relaciona con la intensidad física del sonido $I$ (en watts/m²) mediante:

$L(I) = 10 \ln(I) + C$ (Usamos base natural para simplificar cálculo, ajustando la constante).

Pregunta: Halla la tasa de cambio de la sonoridad con respecto a la intensidad ( $dL/dI$ ). ¿Qué nos dice esto sobre cómo percibimos un aumento de volumen en un concierto vs. en una biblioteca silenciosa?

A medida que la intensidad I aumenta, ¿la sensibilidad del oído cambia?

Ver Análisis e Interpretación

Cálculo Matemático:

\frac{dL}{dI} = \frac{d}{dI}[10 \ln(I) + C] = 10 \cdot \frac{1}{I} = \frac{10}{I}

Interpretación Profunda:
La tasa de cambio es $10/I$ . Esto es inversamente proporcional a la intensidad actual.

Biblioteca (I pequeño): La derivada es grande. Un pequeño aumento en la intensidad se nota muchísimo ("¡Shhh!").
Concierto (I gigante): La derivada es muy pequeña. Necesitas aumentar la intensidad enormemente para que el oído note la diferencia.

Esto explica por qué

1/x

es la derivada perfecta para modelar nuestros sentidos.