1. La Derivada como Función

Según el IDEAM, a comienzos de 2010 los seis glaciares de Colombia sumaban 47,41 km² de hielo, y a comienzos de 2024, 30,83 km². En 14 años se perdieron 16,58 km²: unos 1,18 km² por año, en promedio.

Pero el ritmo no fue el mismo todo el tiempo. Entre 2016 y 2020 se perdieron, en promedio, 1,32 km² por año, y entre 2020 y 2024, 1,09 km² por año. Cada momento tiene su propio ritmo. Una regla que a cada instante le asigna su ritmo es una función, y esa función es la derivada.

Fuente: IDEAM, «Glaciares en Colombia, área y cobertura glaciar» (Indicador Ambiental de Área y Cambio de Cobertura Glaciar 2024).

Cada punto de abajo es la pendiente de una tangente. Y la pendiente de la tangente en x es el límite de las pendientes de las secantes cuando el segundo punto se acerca. Pruébalo con $f(x) = \sqrt{x}$ en x = 4: la secante nunca se vuelve tangente, pero su pendiente se acerca a 0,25.

Si haces lo mismo en un x cualquiera, el resultado depende de x: es una función.

Se escribe $f'(x)$ (Lagrange), o $\frac{dy}{dx}$ si $y = f(x)$ (Leibniz). La notación de Leibniz recuerda de dónde sale: de un cociente $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ cuando las diferencias se hacen muy pequeñas.

Lo que viste en el momento animado vale siempre. Donde $f'(x) > 0$, f sube; donde $f'(x) < 0$, f baja; y donde $f'(x) = 0$, la tangente es horizontal.

Halla la derivada de $f(x) = x^2 - 4x$ y úsala para describir cómo cambia f.

1. 1

   Reemplaza x + h en f

   $$\begin{aligned} &f(x+h) - f(x) \\ &= (x+h)^2 - 4(x+h) \\ &\quad - (x^2 - 4x) \end{aligned}$$
2. 2

   Reduce

   Se cancelan x² y −4x.

   $$\begin{aligned} &f(x+h) - f(x) \\ &= 2xh + h^2 - 4h \end{aligned}$$
3. 3

   Divide entre h (con h ≠ 0)

   $$\frac{2xh + h^2 - 4h}{h} = 2x + h - 4$$
4. 4

   Toma el límite cuando h tiende a 0

   $$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0}(2x + h - 4) \\ &= 2x - 4 \end{aligned}$$
5. 5

   Lee la función derivada

   f′(0) = −4, f′(2) = 0 y f′(3) = 2. Si x < 2 la derivada es negativa y f baja. En x = 2 la tangente es horizontal: es el vértice de la parábola, (2, −4). Si x > 2, f sube. Es la recta roja del momento animado.

El velocímetro de un bus marca un número distinto en cada instante: la velocidad es una función del tiempo, y es la derivada de la posición. Si $s(t)$ es la posición, $v(t) = s'(t)$.

En la gráfica, la posición $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ sube, se detiene, baja y vuelve a subir. Su velocidad $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ vale 0 justo donde la posición da la vuelta, en t = 1 y en t = 3.

Los ejercicios 3, 4 y 6 salen del capítulo 14 del libro «Matemáticas para un mundo sostenible».