9. Límites Infinitos

Estudiamos cuando el resultado del límite se dispara sin control (asíntotas verticales).

Estudiar en la plataforma interactiva

Para empezar

Repartir entre casi nada

Una estación de reciclaje tiene costos fijos de $12.000.000 al mes, reciba lo que reciba (datos hipotéticos). Con 80 toneladas, a cada tonelada le tocan $150.000 de esos costos; con 1 tonelada, $12.000.000; con 0,1, $120.000.000.

Dividir entre algo cada vez más pequeño da algo cada vez más grande, sin techo. Eso es un límite infinito. Míralo crecer.

Momento animado

Más que cualquier número

01234-505x = 2

Etapa 1 de 4 · La curva

f(x)=3x−2f(x) = \frac{3}{x - 2} no existe en x=2x = 2: el denominador vale 0 y el numerador, 3. ¿Qué pasa cerca?

En x = 1, f(1) = −3; en x = 3, f(3) = 3.

Rompiendo el Techo

En la lección anterior, mirábamos muy lejos a la derecha (x→∞x \to \infty) y veíamos que la función se calmaba en una altura fija.

Hoy veremos lo opuesto: miramos un punto específico (x→ax \to a), ¡pero la función explota! Cuando el resultado es infinito, hemos encontrado una Asíntota Vertical.

Lección 8x → ∞
Lección 9Resultado = ∞
La Regla de Oro: En límites, dividir un número (que no sea cero) entre algo "casi cero" da como resultado algo "gigantesco".
Kcasi 0→∞\frac{K}{\text{casi } 0} \to \infty

Simulador de Singularidad

Mueve el deslizador hacia la derecha para hacer el denominador cada vez más pequeño y observa cómo el resultado (la altura de la gráfica) se dispara.

Laboratorio

El reactor de división

Acerca xx a 0 y mira qué le pasa a f(x)=10xf(x) = \tfrac{10}{x}. Prueba por los dos lados.

  • f(x)=10xf(x) = \tfrac{10}{x}
  • Asíntota vertical x = 0
  • El punto (x, f(x))
x = 1

f(x) en x = 1

10

El límite

+∞

lim⁡x→0+10x\lim_{x \to 0^+} \tfrac{10}{x}

x = 1: f(x) = 10. Cada vez que x se acerca 10 veces más a 0, f(x) se multiplica por 10. No se acerca a ningún número: crece sin tope. Por eso se escribe que el límite es +∞, que no es un número sino la forma de decir «sin tope».

El Signo Importa

El infinito no es un número real, es una dirección. Puede ser hacia arriba (+∞+\infty) o hacia abajo (−∞-\infty). Para saber cuál es, debemos estudiar los signos laterales.

Hacia el Cielo (+∞)

Ocurre cuando numerador y el "casi cero" del denominador tienen el mismo signo.

++=+∞o−−=+∞\frac{+}{+} = +\infty \quad \text{o} \quad \frac{-}{-} = +\infty
Hacia el Infierno (-∞)

Ocurre cuando tienen signos opuestos.

+−=−∞o−+=−∞\frac{+}{-} = -\infty \quad \text{o} \quad \frac{-}{+} = -\infty

Ejemplo resuelto

El signo de un límite infinito

Halla los límites laterales de 3x−2\frac{3}{x - 2} en x=2x = 2 y de 1(x−1)2\frac{1}{(x - 1)^2} en x=1x = 1.
  1. 1

    Revisa la forma

    En los dos casos el numerador se acerca a un número distinto de 0 (3 y 1) y el denominador a 0: el cociente crece sin control. Falta el signo.
  2. 2

    El signo de x − 2 a cada lado

    Si x→2+x \to 2^+, x−2x - 2 es positivo; si x→2−x \to 2^-, negativo.
    lim⁡x→2+3x−2=∞lim⁡x→2−3x−2=−∞\begin{aligned} \lim_{x \to 2^+} \frac{3}{x - 2} &= \infty \\ \lim_{x \to 2^-} \frac{3}{x - 2} &= -\infty \end{aligned}
  3. 3

    Con un cuadrado, el mismo signo a los dos lados

    (x−1)2(x - 1)^2 es positivo a los dos lados de 1:
    lim⁡x→11(x−1)2=∞\lim_{x \to 1} \frac{1}{(x - 1)^2} = \infty
Las rectas x=2x = 2 y x=1x = 1 son asíntotas verticales. En la primera la gráfica sube por un lado y baja por el otro; en la segunda, sube por los dos.

Zona de Peligro

Ejercicio 1: Buscando la Asíntota

Encuentra la ecuación de la asíntota vertical de la función:

f(x)=x+2x−3f(x) = \frac{x + 2}{x - 3}

¿En qué valor de xx se hace cero el denominador? (Escribe solo el número).

Ver la explicación completa

Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero (y el numerador no).

x - 3 = 0 → x = 3

En x=3, tenemos "5 dividido por 0", lo cual explota.

Tipo PISA: Física / Electromagnetismo
Ejercicio 2: Ley de Coulomb

La fuerza eléctrica FF entre dos partículas cargadas depende de la distancia rr entre ellas según la fórmula:

F(r)=k⋅q1⋅q2r2F(r) = \frac{k \cdot q_1 \cdot q_2}{r^2}

Si intentamos acercar las partículas hasta que se toquen (r→0r \to 0), ¿qué le pasa a la fuerza de repulsión?

Ver la explicación completa

Matemáticamente: lim⁡r→0constanter2=∞\lim_{r \to 0} \frac{\text{constante}}{r^2} = \infty.

Físicamente: La fuerza se vuelve infinita. Esto crea una barrera "impenetrable" (singularidad) que impide que las partículas puntuales ocupen el mismo espacio.

Ejercicio 3: El signo por la derecha
¿Cuánto vale lim⁡x→2+3x−2\lim_{x \to 2^+} \frac{3}{x - 2}?
Ejercicio 4: Un cuadrado abajo
¿Cuánto vale lim⁡x→11(x−1)2\lim_{x \to 1} \frac{1}{(x - 1)^2}?
Ejercicio 5: ¿Dónde hay asíntotas verticales?
¿Cuáles son las asíntotas verticales de f(x)=x+1x2−4f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}?
Ejercicio 6: ¿Asíntota o hueco?
El denominador de x2−4x−2\frac{x^2 - 4}{x - 2} se anula en x=2x = 2. ¿Qué hay ahí?
Ejercicio 7: Reciclar casi nada
En la estación de reciclaje, el costo por tonelada es C‾(x)=150 000+12 000 000x\overline{C}(x) = 150\,000 + \frac{12\,000\,000}{x} pesos con xx toneladas al mes (datos hipotéticos). ¿Qué pasa cuando x→0+x \to 0^+?