8. Límites al Infinito | Cálculo Diferencial

Para empezar

El aire del salón a la última hora

El aire de afuera tiene unas 427 partes por millón (ppm) de CO₂: el promedio de 2025 en Mauna Loa, según la NOAA, fue de 427,35 ppm. En un salón cerrado, el CO₂ que exhalamos se suma a ese aire.

¿Sube sin parar o se acerca a un valor? Esa pregunta, qué pasa a largo plazo, es un límite al infinito. Míralo con un modelo.

Fuente: NOAA Global Monitoring Laboratory, CO₂ en Mauna Loa, promedio anual de 2025.

Momento animado

¿Hasta dónde sube el CO₂ del salón?

Etapa 1 de 4 · Empieza la clase

35 estudiantes en un salón con las ventanas cerradas. El CO₂ que exhalan se acumula:

C(m) = 427 + 1\,400\,(1 - e^{-m/30})

ppm a los

m

minutos.

A los 0 min: 427 ppm. Falta 1400,0 ppm para 1.827.

Mirando hacia el Horizonte

Hasta ahora, hemos estudiado lo que pasa en un punto específico ("el microscopio"). Ahora, sacaremos el telescopio. Queremos saber qué hace la función cuando $x$ se hace enormemente grande (o enormemente negativo).

La Metáfora del Avión

Imagina que la función es la trayectoria de un avión. Al principio (x pequeño), el avión sube, baja, hace piruetas. Pero a la larga (x infinito), ¿qué hace?

¿Se estabiliza a una altura fija? (Asíntota Horizontal)
¿Sigue subiendo para siempre? (Infinito)
¿Se estrella? (Menos Infinito)

Notación Matemática

\lim_{x \to \infty} f(x) = L

Significa que $y = L$ es una Asíntota Horizontal.

La Batalla de Magnitudes

En funciones racionales (fracciones de polinomios), el comportamiento al infinito es una guerra entre el numerador (arriba) y el denominador (abajo).¡Solo importan los términos de mayor grado! Los términos pequeños se vuelven irrelevantes cuando $x$ es un millón.

Laboratorio

Batalla de grados

Cambia los grados $n$ y $m$ y mira qué le pasa al cociente cuando $x$ crece.

$f(x) = \frac{3x^{2} + 2}{2x^{2} + 1}$
La meta: 1,5

Grado de arriba,

n

n = 2

Grado de abajo,

m

m = 2

Más allá de la gráfica

f(10)	1,502487562189055
f(100)	1,500024998750063
f(1.000)	1,500000249999875

\lim_{x \to \infty} f(x) = \tfrac{3}{2} = 1{,}5

Empate: arriba y abajo crecen al mismo ritmo, y el cociente se acerca a la razón de los coeficientes principales, 3/2 = 1,5. Los términos + 2 y + 1 pesan cada vez menos, pero nunca desaparecen: el cociente no llega a 1,5.

Resumen Táctico:

• Si Grado Arriba < Grado Abajo: El límite es 0. (El piso gana).
• Si Grado Arriba = Grado Abajo: El límite es la división de coeficientes principales.
• Si Grado Arriba > Grado Abajo: El límite es Infinito (No existe asíntota horizontal).

El Método Algebraico (La Prueba)

Para demostrarlo matemáticamente, usamos un truco simple: Dividir todo por la potencia más grande de x.

Ejemplo:

\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 4}{2x^2 + 5x}

Paso 1

Identifica la potencia mayor en el denominador: $x^2$ .

Paso 2

Divide cada término por $x^2$ :

\frac{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{4}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{5x}{x^2}} = \frac{3 - \frac{4}{x^2}}{2 + \frac{5}{x}}

Paso 3

Aplica el límite. Sabemos que $\frac{k}{x^n} \to 0$ cuando $x \to \infty$ .

\frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2} = 1{,}5

Ejemplo resuelto

Un estanque a largo plazo

Un estanque recibe cada día agua de un caño con 4 mg/L de nitratos y suelta la misma cantidad, bien mezclada. Su concentración a los

t

días es

C(t) = 4 - 3{,}5\,e^{-0{,}1t}

mg/L (datos hipotéticos). ¿Qué pasa a largo plazo? ¿Y si el agua del caño se trata y llega con 1,5 mg/L?

1
El comienzo
$C(0) = 4 - 3{,}5 = 0{,}5 \text{ mg/L}$
2
A los 10 días
$C(10) = 4 - 3{,}5\,e^{-1} \approx 2{,}71 \text{ mg/L}$
3
A largo plazo
Como $e^{-0{,}1t} \to 0$ cuando $t \to \infty$ :
$\lim_{t \to \infty} C(t) = 4 - 0 = 4 \text{ mg/L}$
4
Con el agua tratada
El modelo pasa a ser $C(t) = 1{,}5 - e^{-0{,}1t}$ : empieza igual, en 0,5 mg/L, pero su límite es 1,5 mg/L.

El valor a largo plazo no depende de lo que tenía el estanque al comienzo, sino de lo que le entra. Tratar el agua del caño cambia el límite, como abrir las ventanas cambia el del salón.

Práctica de Vuelo

Ejercicio 1: Identificación Rápida

Calcula la asíntota horizontal de la siguiente función observando los grados:

f(x) = \frac{8x^4 + 3x}{2x^4 - 7}

Ver la explicación completa

1. Grado numerador = 4. Grado denominador = 4.

2. Como son iguales, dividimos los coeficientes de $x^4$ :

\frac{8}{2} = 4

La asíntota es $y = 4$ .

Tipo PISA: Química / Medicina

Ejercicio 2: Concentración a Largo Plazo

Se inyecta un medicamento en un tanque de mezcla. La concentración del medicamento $C(t)$ (en mg/L) después de $t$ horas está dada por:

C(t) = \frac{50t}{2t + 10}

¿A qué valor se estabilizará la concentración después de mucho tiempo (cuando $t \to \infty$ )?

Ver la explicación completa

Buscamos $\lim_{t \to \infty} \frac{50t}{2t + 10}$ .

Grado arriba: 1 (coeficiente 50).
Grado abajo: 1 (coeficiente 2).

Dividimos coeficientes:

\frac{50}{2} = 25

mg/L

Ejercicio 3: Una población con techo

Una población sigue el modelo logístico

P(t) = \frac{500}{1 + 9e^{-0{,}5t}}

. ¿Cuánto vale

P(0)

y cuál es su capacidad de carga,

\lim_{t \to \infty} P(t)

Ejercicio 4: Una concentración a largo plazo

La concentración de una sustancia es

C(t) = 6 - 4e^{-0{,}2t}

mg/L. ¿Cuánto vale

\lim_{t \to \infty} C(t)

Ejercicio 5: Agua lluvia en un pozo

Al mezclar agua de un pozo con

x

litros de agua lluvia, una sustancia queda en

N(x) = \frac{18\,000 + 2x}{1\,000 + x}

mg/L. ¿A qué valor se acerca cuando

x \to \infty

Ejercicio 6: Abrir las ventanas

En el salón del momento animado, el CO₂ se acerca a 1.827 ppm con las ventanas cerradas y a 894 ppm con las ventanas abiertas. ¿En qué porcentaje baja el valor a largo plazo?

Ejercicio 7: ¿Llegará?

Unos peces en una ciénaga siguen el modelo

P(t) = \frac{2\,000}{1 + 39e^{-0{,}8t}}

, cuyo límite cuando

t \to \infty

es 2.000. ¿Qué dice ese límite?