7. Existencia de Raíces (TVI)

Cómo demostrar que una ecuación tiene solución aunque no sepas calcularla exactamente.

Estudiar en la plataforma interactiva

Para empezar

¿Marcó 12,5 °C?

A las 5 de la mañana, un termómetro en Tunja marca 8 °C, y a mediodía, 18 °C (datos hipotéticos). ¿Hubo un momento en que marcó exactamente 12,5 °C? Nadie lo vio, pero sí: la temperatura no salta.

Esa idea sirve también para saber que una ecuación tiene solución sin despejarla, y para encerrarla. Mírala.

Momento animado

Encerrar una raíz partiendo por la mitad

00,250,50,751-202−+

Etapa 1 de 4 · El signo cambia

f(x)=x3+x−1f(x) = x^3 + x - 1 vale −1 en 0 y 1 en 1. Es continua: para pasar de abajo del eje a arriba, tiene que cruzarlo. Hay una raíz en (0,1)(0, 1), aunque no se pueda despejar.
Intervalo después de cada paso (mide 1/2, 1/4, 1/8…)
PasoPunto medio mf(m)
f(0) = −1 y f(1) = 1: el signo cambia.

Cruzando el Río (Teorema de Bolzano)

Imagina que estás en la orilla sur de un río (coordenada negativa) y quieres ir a la orilla norte (coordenada positiva). Si el puente es continuo (no está roto), es imposible cruzar sin pasar exactamente por el medio del río (coordenada cero) en algún momento.

El Enunciado Matemático

Conocido como el Teorema de Bolzano (un caso especial del TVI):

Si ff es continua en [a,b][a, b] y:

f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) < 0

(Esto significa que tienen signos opuestos)

Entonces existe al menos un cc tal que f(c)=0f(c) = 0.

-
Empiezas abajo

f(a) es negativo

+
Terminas arriba

f(b) es positivo

=
Conclusión

En algún punto cruzaste el eje X (El Cero).

Cómo Piensan las Computadoras

Las calculadoras y los programas no "resuelven" ecuaciones difíciles por magia: muchos métodos acorralan la respuesta usando este teorema una y otra vez. El más sencillo se llama Bisección: partir el intervalo por la mitad y quedarse con la mitad donde la función cambia de signo.

Algoritmo Cazador de Raíces

Método de Bisección (Aplicación del TVI)

Intervalo Actual[0,000; 1,000]
Objetivo: Encontrar cruce (y=0)

Lógica del TVI

f(a) = 1,00Izquierda
f(b) = -2,00Derecha

Como los signos son opuestos (+/-), la función continua está atrapada y debe cruzar el cero en este tramo.

Ejemplo resuelto

¿Cuándo pasa el aire del salón de 1.000 ppm?

En un salón cerrado, el CO₂ es C(t)=427+1 400 (1−e−t/30)C(t) = 427 + 1\,400\,(1 - e^{-t/30}) ppm a los tt minutos (datos hipotéticos). ¿Hubo un instante entre el minuto 0 y el 30 con 1.000 ppm? ¿Cuál?
  1. 1

    Revisa la continuidad

    CC es una suma de una constante y una exponencial: es continua.
  2. 2

    Evalúa en los bordes

    C(0)=427C(30)=427+1 400 (1−e−1)≈1 312\begin{aligned} C(0) &= 427 \\ C(30) &= 427 + 1\,400\,(1 - e^{-1}) \\ &\approx 1\,312 \end{aligned}
  3. 3

    Aplica el teorema

    1.000 está entre 427 y 1.312: hay un tt en (0,30)(0, 30) con C(t)=1 000C(t) = 1\,000.
  4. 4

    Aquí sí se puede despejar

    t=−30ln⁡(1−5731 400)≈15,8 mint = -30 \ln\Big(1 - \frac{573}{1\,400}\Big) \approx 15{,}8 \text{ min}
A los 16 minutos de clase con las ventanas cerradas, el aire ya pasó de 1.000 ppm. El teorema aseguró que el instante existía antes de calcularlo.

Ejercicios de existencia (Teorema de Bolzano)

Ejercicio 1: Detección de Raíces en Polinomios

Se desea determinar si la ecuación polinómica f(x)=x3+x−1=0f(x) = x^3 + x - 1 = 0 tiene al menos una raíz real en el intervalo cerrado [0,1][0, 1].

f(0)=0+0−1=−1f(0) = 0 + 0 - 1 = -1
Negativo (< 0)
f(1)=1+1−1=1f(1) = 1 + 1 - 1 = 1
Positivo (> 0)

¿Qué conclusión matemática se deduce formalmente del Teorema de Bolzano?

Ejercicio 2 (tipo PISA): Dinámica Financiera (Punto de Equilibrio de una Empresa)

Una empresa tecnológica modela su utilidad neta mensual G(t)G(t) (en miles de dólares) durante su primer año de operaciones de forma continua:

  • En el mes de apertura (t=0t = 0): G(0)=−10G(0) = -10 (pérdida neta de $10.000 USD).
  • Al finalizar el año (t=12t = 12): G(12)=20G(12) = 20 (ganancia neta de $20.000 USD).

¿Cuántas veces como mínimo garantizado la empresa cruzó el umbral de rentabilidad cero (punto de equilibrio G(t)=0G(t) = 0) en el intervalo [0,12][0, 12]?

Ejercicio 3: El termómetro de Tunja
Un termómetro en Tunja marca 8 °C a las 5 de la mañana y 18 °C a mediodía (datos hipotéticos). ¿Marcó exactamente 12,5 °C en algún momento?
Ejercicio 4: Ubicar una raíz
¿En cuál de estos intervalos asegura el teorema de Bolzano una raíz de x3−2x−5=0x^3 - 2x - 5 = 0?
Ejercicio 5: ¿Cuántas raíces?
Si ff es continua en [a,b][a, b], f(a)<0f(a) < 0 y f(b)>0f(b) > 0, ¿cuántas raíces asegura Bolzano en (a,b)(a, b)?