6. Continuidad en Intervalos | Cálculo Diferencial

Para empezar

Un registro sin cortes

La gráfica de la temperatura de un día en una estación meteorológica se dibuja de las 0 a las 24 horas sin levantar el lápiz. El cobro de un parqueadero por horas, no: salta cada hora.

¿Qué quiere decir, con precisión, que una función sea continua en todo un intervalo, y qué pasa en sus bordes? Míralo con un lápiz.

Momento animado

¿Se puede trazar sin levantar el lápiz?

Etapa 1 de 4 · √x en [0, 4]

El lápiz traza

\sqrt{x}

de 0 a 4 sin levantarse. En el borde 0 solo hay un lado: basta que

\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 = \sqrt{0}

. Es continua en el cerrado

[0, 4]

El lápiz va en x = 0,00, f(x) = 0,00.

De Puntos a Caminos

Ya sabemos comprobar si una función es continua en un punto específico. Pero en el mundo real, rara vez nos interesa un solo instante. Nos interesa saber si la función es continua durante todo un periodo de tiempo o en toda una región del espacio.

Decimos que una función es continua en un intervalo si no puedes encontrar ni un solo punto de ruptura dentro de ese tramo. Es como trazar una línea sin levantar el lápiz del papel desde el inicio hasta el final.

Las Reglas del Juego (Abierto vs. Cerrado)

Intervalo Abierto $(a, b)$

Es la definición fácil. La función debe ser continua en cada punto dentro del intervalo. No nos preocupamos por los bordes extremos $a$ y $b$ .

\forall c \in (a, b) \implies \lim_{x \to c} f(x) = f(c)

Intervalo Cerrado $[a, b]$

Aquí sí importan los bordes. Además de ser continua por dentro, debe ser:

Continua por la derecha en $a$ ( $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ ).
Continua por la izquierda en $b$ ( $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$ ).

Nota Experta: Las funciones elementales (polinomios, racionales, raíces, trigonométricas) son continuas en todo su dominio. Si estás dentro del dominio, ¡estás seguro!

La Herramienta Maestra: TVI

El Teorema del Valor Intermedio (TVI) es intuitivamente obvio, pero matemáticamente profundo. Dice que no puedes ir del punto A al punto B sin pasar por todos los puntos intermedios, a menos que tengas poderes de teletransportación (discontinuidad).

Laboratorio

El teorema del escalador

Escoge un camino y mueve la altura objetivo $K$ . La franja verde va de la altura inicial a la final.

f(x) = x + 1 + 0,5·sin(2x)
Altura objetivo K
De la altura inicial a la final

Altura objetivo,

K

K = 3,5

Altura inicial y final

1 y ≈ 5,49

f(0) y f(4)

Dónde se alcanza K

c ≈ 2,81

Garantizado por el TVI: el camino es continuo en [0, 4] y K = 3,5 está entre f(0) = 1 y f(4) ≈ 5,49. Existe un c con f(c) = K; aquí c ≈ 2,81.

Teorema del Valor Intermedio

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $N$ es un número entre $f(a)$ y $f(b)$ ...

\exists c \in (a, b) \text{ tal que } f(c) = N

Ejemplo resuelto

Pegar dos tramos en un intervalo cerrado

¿Qué valor de

k

hace continua en

[0, 4]

la función que vale

kx^2

0 \leq x < 2

, y

3x - 2

2 \leq x \leq 4

1
Dentro de cada tramo no hay problema
Los dos tramos son polinomios: continuos en $[0, 2)$ y en $[2, 4]$ . Los bordes 0 y 4 tampoco dan problema: cada uno tiene su lado.
2
El único punto en duda es el cambio de fórmula
$\begin{aligned} \lim_{x \to 2^-} kx^2 &= 4k \\ f(2) = \lim_{x \to 2^+} (3x - 2) &= 4 \end{aligned}$
3
Iguala
$4k = 4 \;\Longrightarrow\; k = 1$

Con

k = 1

, la función es

x^2

hasta 2 y

3x - 2

después: los dos tramos llegan a 4 en

x = 2

, y se traza sin levantar el lápiz en todo

[0, 4]

Ejercicios de continuidad en intervalos

Ejercicio 1: Intervalos de Seguridad y Dominio Radical

Considera la función $f(x) = \sqrt{16 - x^2}$ , que modela el perfil de resistencia estructural de una bóveda semicircular.

¿Cuál es el intervalo cerrado maximal en el cual $f(x)$ es continua?

Ejercicio 2 (tipo PISA): Teorema del Valor Intermedio (Registro Climático)

Un dron asciende continuamente por una ladera de montaña registrando la temperatura del aire $T(h)$ . A las 8:00 a. m. (altura $0\text{ m}$ ) registra 15°C, y a las 9:00 a. m. (altura $1000\text{ m}$ ) registra 5°C.

Asumiendo que $T(h)$ es una función continua de la altitud, ¿qué garantiza el Teorema del Valor Intermedio (TVI)?

Ejercicio 3: Un borde cerrado

¿Es

f(x) = \sqrt{x}

continua en el intervalo cerrado

[0, 4]

Ejercicio 4: Continua en su dominio

\frac{1}{x}

es continua en todo su dominio. ¿Es continua en

[-1, 1]

Ejercicio 5: Los intervalos de una racional

¿En qué intervalos es continua

f(x) = \frac{x + 1}{x - 3}