5. Continuidad en un Punto | Cálculo Diferencial

Para empezar

¿Ganar más y recibir menos?

En 2025, el salario mínimo era de $1.423.500, y quien ganaba hasta dos salarios mínimos, $2.847.000, recibía además $200.000 de auxilio de transporte. Quien ganaba un peso más, no.

La temperatura de un día pasa de 15 a 16 grados por todos los valores intermedios; el ingreso total, en cambio, salta. Esa diferencia se llama continuidad. Mírala.

Fuente: Decreto 1572 de 2024 (salario mínimo de 2025) y Decreto 1573 de 2024 (auxilio de transporte de 2025).

Momento animado

Un peso más, $200.000 menos

Etapa 1 de 4 · Por la izquierda

Quien gana hasta dos salarios mínimos (en 2025, $2.847.000) recibe además $200.000 de auxilio de transporte. El punto se acerca a dos salarios por la izquierda: el ingreso se acerca a $3.047.000.

Salario $2.550.000 → ingreso total $2.750.000

Trazando sin Levantar el Lápiz

Intuitivamente, decimos que una función es continua si su gráfica puede dibujarse de principio a fin con un solo trazo continuo, sin separar la pluma del papel. Imagina que la curva describe una vía férrea de alta velocidad: para que un tren pase a 300 km/h por el punto $x = a$ sin descarrilarse, la vía debe estar perfectamente soldada. No puede haber huecos en los rieles, no puede haber un desnivel abrupto hacia otro andén y no puede dispararse hacia el cielo.

Explora en el laboratorio interactivo los cuatro comportamientos fundamentales y comprueba cómo el cálculo audita cada uno:

Concepto Clave

"Continuidad significa predictibilidad: el valor que esperamos encontrar (el límite) coincide con la realidad física (el valor de la función)."

Laboratorio de Continuidad y Rupturas

Inspecciona el comportamiento gráfico y la prueba formal de 3 pasos

Punto de prueba:

x = 1

f(x) = 0{,}5x^2

Auditoría de las 3 Condiciones en

x = 1

Condición 1: ¿Existe f(a)?

f(1) = 0,5 (Definida)

Condición 2: ¿Existe lim f(x)?

lim = 0,5 (Existe por ambos lados)

Condición 3: ¿Coinciden f(a) = lim f(x)?

f(1) = lím (x→1) f(x) = 0,5 (coinciden)

Diagnóstico Técnico

Función CONTINUA en x = 1. Cumple las 3 condiciones.

La Definición Formal (El Checklist de 3 Pasos)

Definición de Cauchy-Weierstrass

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Para que esta igualdad sea válida en los números reales, deben satisfacerse simultáneamente 3 requisitos:

Existe $f(a)$

El punto está en el dominio. Hay una estación física real.

Existe $\lim_{x \to a} f(x)$

Los caminos por izquierda y derecha llegan al mismo nivel.

Coinciden exactamente

$L = f(a)$ . El puente ensambla sin ningún milímetro de desnivel.

Ejercicio 5.1: Diagnóstico de Fallas

Condición 1

Considera la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ . Al evaluar la continuidad en $x = 1$ , ¿cuál es la primera condición del checklist que falla?

Ejercicio 5.2: Punto Desplazado

Condición 3

Si para una función se conoce que $\lim_{x \to 3} f(x) = 5$ pero la función tiene el valor $f(3) = 2$ , ¿qué condición específica del checklist falla?

El Catálogo de Discontinuidades

Según cuál de las condiciones falle y de qué modo se comporten los límites laterales, clasificamos formalmente las rupturas:

1. Removible (Evitable)

El límite bilateral existe, pero hay un hueco en la gráfica o un punto desplazado.
Reparable: Se arregla definiendo $f(a) = L$ .

2. Salto Finito

Ambos límites laterales existen pero difieren ( $L^- \neq L^+$ ).
No evitable: Hay un escalón no nulo entre caminos.

3. Infinita (Asíntota)

Al menos uno de los límites laterales tiende a $+\infty$ o $-\infty$ .
No evitable: La curva diverge sin cota finita.

Ejercicio 5.3: Hipérbola Elemental

Asíntotas

Clasifica la discontinuidad de la función $f(x) = \frac{1}{x}$ en el origen $x = 0$ .

Ejercicio 5.4: Factores Cancelables

Cancelación

Dada la función $f(x) = \frac{x(x - 2)}{x - 2}$ , ¿qué tipo de discontinuidad presenta en $x = 2$ ?

Concepto Clave

"Únicamente las discontinuidades removibles permiten construir una 'extensión continua' redefiniendo el valor de la función en un solo punto."

Ejemplo resuelto

Un valor de k que pega dos tramos

¿Qué valor de

k

hace continua en

x = 2

la función

f(x) = kx + 1

x < 2

, y

f(x) = x^2

x \geq 2

1
Condición 1: el valor en el punto
Para $x = 2$ se usa el tramo de abajo:
$f(2) = 2^2 = 4$
2
Los dos límites laterales
$\begin{aligned} \lim_{x \to 2^-} (kx + 1) &= 2k + 1 \\ \lim_{x \to 2^+} x^2 &= 4 \end{aligned}$
3
Condiciones 2 y 3: que todo coincida
$2k + 1 = 4 \;\Longrightarrow\; k = \frac{3}{2} = 1{,}5$
4
Comprueba
Con $k = 1{,}5$ , por la izquierda $1{,}5 \cdot 2 + 1 = 4$ : los laterales valen 4 y $f(2) = 4$ . Con cualquier otro $k$ , la gráfica salta en $x = 2$ .

Es lo que le falta al ingreso del momento animado: en dos salarios mínimos, los dos tramos no se pegan, y hay un salto de $200.000.

Desafío tipo PISA: El segundo más caro del parqueadero

Un sistema de parqueadero automatizado tarifado por tramos cobra según el tiempo de estancia $t$ en horas:

Tramo 1 (0 a 15 min)$0,00 (Gratis)

Tramo 2 (15 min a 1 h)$2,00

Tramo 3 (> 1 h)$5,00

Un cliente sale cuando la máquina marca 1 hora y 1 segundo. La máquina le factura $5,00. El cliente protesta: "¡Por un mísero segundo me cobraron $3,00 adicionales! Debe haber continuidad entre $2,00 y $5,00". ¿Qué concepto de cálculo diferencial explica rigurosamente esta situación en $t = 1$ ?

Ejercicio 5.5: Un poco más de dos salarios

Con las cifras de 2025, el auxilio de transporte ($200.000) lo recibe quien gana hasta dos salarios mínimos, $2.847.000. ¿Cuál es el ingreso total de alguien con un salario de $2.900.000?

Ejercicio 5.6: ¿Qué condición falla?

El ingreso total

I(s)

no es continuo en

s = 2\,847\,000

. ¿Cuál de las tres condiciones falla?

Ejercicio 5.7: Reparar un hueco

f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}

no está definida en

x = 1

. ¿Qué valor hay que darle a

f(1)

para que quede continua?