5. Continuidad en un Punto | Cálculo Diferencial

Trazando sin Levantar el Lápiz

Intuitivamente, decimos que una función es continua si su gráfica es una línea ininterrumpida. Imagina que la gráfica es una vía de tren. Para que el tren pase sin descarrilarse en el punto $a$ , la vía debe estar perfecta. No puede faltar un tramo, no puede haber un desnivel brusco y no puede dispararse al cielo.

Interactúa con el siguiente gráfico para ver cómo se ven las "vías rotas":

Monitor de Continuidad: Continua

Trazo perfecto. El límite coincide con el punto.

f(x) = 0.5x^2

Concepto Clave

"Continuidad significa predictibilidad: el valor esperado (límite) coincide con el valor real (función)."

La Definición Formal (El Checklist)

Definición de Continuidad

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Para que esta simple ecuación sea verdad, deben cumplirse 3 condiciones:

Existe la función $f(a)$

El punto está definido (Hay un destino).

Existe el límite $\lim_{x \to a} f(x)$

Los caminos laterales se encuentran (Hay un puente).

Coinciden: $Límite = Función$

El puente conecta exactamente con el destino.

Diagnóstico de Fallas

Ejercicio 5.1

Sea $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ . ¿Qué condición falla en $x=1$ ?

Ver Respuesta

Falla la Condición 1.

f(1) = 0/0

no está definido.

Ejercicio 5.2

Si $\lim_{x \to 3} f(x) = 5$ , pero $f(3) = 2$ . ¿Qué condición falla?

Ver Respuesta

Falla la Condición 3. El límite existe, la función existe, pero no son iguales.

El Catálogo de Desastres

Basado en qué condición falla, clasificamos las rupturas. Usa el graficador arriba para visualizar cada una.

1. Removible (Agujero)

El límite existe, pero hay un hueco.
🔧 Reparable: Redefiniendo un solo punto.

2. De Salto (Escalón)

Los límites laterales son distintos.
⛔ No Reparable: Imposible unir los caminos.

3. Infinita (Asíntota)

La función explota hacia el infinito.
⛔ No Reparable: Distancia inalcanzable.

Clasificación

Ejercicio 5.3

Clasifica $f(x) = \frac{1}{x}$ en $x=0$ .

Ver Solución

Infinita. Por derecha va a

+\infty

y por izquierda a

-\infty

Ejercicio 5.4

Si $f(x) = \frac{x(x-2)}{x-2}$ , en $x=2$ .

Ver Solución

Removible. Los factores se cancelan. Solo hay un agujero.

Concepto Clave

"Solo las discontinuidades removibles permiten 'arreglar' la función redefiniendo un solo punto."

Desafío: El Estacionamiento

Un estacionamiento automático cobra:
• Gratis los primeros 15 min.
• $2.00 entre 15 min y 1 hora.
• $5.00 más de 1 hora.

La "Injusticia" del Segundo

Un cliente sale cuando su reloj marca 1 hora y 1 segundo. El sistema le cobra $5.00. Él argumenta que por un segundo, el salto de precio es injusto. Matemáticamente, ¿qué tipo de discontinuidad explica esto en $t=1$ ?

Ver Análisis

En $t = 1$ :
• Límite izquierda: $2.00.
• Límite derecha: $5.00.

Es una Discontinuidad de Salto. No hay transición suave. En sistemas de precios discretos, la continuidad es imposible.