4. Límites Laterales

Cuando el comportamiento de la función depende de la dirección desde la que te acercas.

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¿Se encuentran los caminos?

Imagina un puente roto. Si caminas desde la izquierda, llegas al borde del precipicio. Si tu amigo camina desde la derecha, llega al otro borde. Si el puente está alineado, pueden darse la mano. Si una parte está más alta que la otra, es imposible.

En matemáticas, no siempre podemos hablar de "el" límite a secas. A veces, el comportamiento depende de la dirección. Para distinguir esto, usamos signos en el exponente del número al que tendemos:

x→a−x \to a^- (Izquierda)

Te acercas con valores menores que aa.
Ejemplo: Si x→2−x \to 2^-, usamos 1.9, 1.99, 1.999...

x→a+x \to a^+ (Derecha)

Te acercas con valores mayores que aa.
Ejemplo: Si x→2+x \to 2^+, usamos 2.1, 2.01, 2.001...

Concepto Clave

"El superíndice negativo (-) significa 'desde valores menores', no que el número sea negativo."

El Teorema Fundamental de Existencia

Condición de Existencia

lim⁡x→af(x)=L  ⟺  lim⁡x→a−f(x)=Lylim⁡x→a+f(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = L \quad \text{y} \quad \lim_{x \to a^+} f(x) = L

"El límite global existe si y solo si los límites laterales existen y son IGUALES."

Este teorema es nuestra herramienta principal para demostrar que un límite NO existe. Basta con mostrar que la izquierda y la derecha no coinciden.

Ejercicios de Concepto

Ejercicio 4.1: Análisis Visual

Si calculas lim⁡x→3−f(x)=4\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4 y lim⁡x→3+f(x)=2\lim_{x \to 3^+} f(x) = 2, ¿qué puedes concluir sobre el límite global en x=3x=3?

Ver Respuesta
El límite global NO EXISTE (DNE). Hay una ruptura o "salto" en la gráfica.

Ejercicio 4.2: Falso o Verdadero

¿Es posible que existan los dos límites laterales y aun así el límite global no exista?

Ver Respuesta
Verdadero. Pueden existir ambos (como en el ejemplo anterior, 4 y 2), pero al ser diferentes, el global falla.

Funciones a Trozos (Piecewise)

Las "funciones Frankenstein" son las reinas de los límites laterales. Tienen una regla de comportamiento para un lado y otra regla diferente para el otro.

Ejemplo Guiado
f(x)={2x+1si x<1x2+2si x≥1f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 1 \\ x^2 + 2 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}

Objetivo: Calcular lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x).

  • Izquierda (x < 1): Usamos 2x+12x + 1.
    →2(1)+1=3\to 2(1) + 1 = 3.
  • Derecha (x > 1): Usamos x2+2x^2 + 2.
    →(1)2+2=3\to (1)^2 + 2 = 3.

¡Coinciden! El límite es 3.

Práctica de Cálculo

Ejercicio 4.3: El Valor Absoluto

Analiza lim⁡x→0∣x∣x\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}.
(Pista: |x| es x si es positivo, y -x si es negativo)

Ver Solución
Por derecha (x>0x>0): x/x=1x/x = 1.
Por izquierda (x<0x<0): −x/x=−1-x/x = -1.
Los límites son distintos (1 y -1). No existe.

Ejercicio 4.4: Sustitución

Sea g(x)={xx<25x=2xx>2g(x) = \begin{cases} x & x < 2 \\ 5 & x = 2 \\ x & x > 2 \end{cases}
Calcula lim⁡x→2g(x)\lim_{x \to 2} g(x).

Ver Solución
Izquierda: 22. Derecha: 22.
El límite es 2.
Nota: Que g(2)=5 no importa para el límite.

Concepto Clave

"En funciones a trozos, el punto 'critico' es donde cambia la fórmula. Es ahí donde debemos probar los laterales."

Desafío Contextual (Tipo PISA)

Contexto: La Tarifa Postal.
Una empresa de envíos cobra $10 por paquetes que pesan hasta 1 kg (sin incluirlo) y cobra $20 por paquetes de 1 kg en adelante.

La función Precio P(w)P(w) según el peso ww es:

P(w)={10si 0<w<120si w≥1P(w) = \begin{cases} 10 & \text{si } 0 < w < 1 \\ 20 & \text{si } w \ge 1 \end{cases}

La Pregunta:

Un cliente pregunta: "¿Cuál es el precio límite cuando mi paquete se acerca a 1 kg?". Matemáticamente, ¿existe una respuesta única a esa pregunta? ¿Existe lim⁡w→1P(w)\lim_{w \to 1} P(w)?

Ver Análisis Económico-Matemático

Calculamos los laterales:

  • Por la izquierda (w→1−w \to 1^-): Si el paquete pesa 0.999 kg, el precio es constante en $10.
  • Por la derecha (w→1+w \to 1^+): Si el paquete pesa 1.001 kg, el precio salta a $20.
Conclusión: El límite NO EXISTE.
No hay un "precio límite" único; hay un precio si te falta un gramo y otro muy distinto si te pasas un gramo. Es una discontinuidad de salto finito.