4. Límites Laterales | Cálculo Diferencial

Para empezar

59 minutos o 61 minutos

Muchos parqueaderos cobran por hora o fracción. Si sales un minuto antes de la hora pagas una hora; si sales un minuto después, pagas dos. Cerca de la hora exacta, el cobro depende del lado por el que te acerques.

Para eso están los límites laterales: uno por la izquierda y otro por la derecha. Míralos con un parqueadero (datos hipotéticos).

Momento animado

59 minutos o 61: el lado importa

Etapa 1 de 4 · La escalera

Un parqueadero cobra $3.000 la primera hora y $2.000 por cada hora adicional o fracción. El cobro sube a saltos: cada hora empieza un escalón.

Punto lleno: ese valor sí se cobra. Hueco: un instante antes ya no.

¿Se encuentran los caminos?

Imagina un puente colgante que se rompió en medio de una tormenta. Si caminas desde el lado izquierdo del barranco, llegas a un extremo a 15 metros de altura. Si tu compañero camina desde el lado derecho, llega a otro tramo a 20 metros de altura. Aunque ambos avancen hacia el mismo punto geográfico, jamás podrán estrecharse la mano porque sus cotas de llegada son diferentes.

En matemáticas, no siempre existe un único valor al que tienda la función. A menudo el comportamiento depende exclusivamente del camino de aproximación. Para indicar la dirección con precisión milimétrica, usamos signos superíndices:

$x \to a^-$ (Límite por la Izquierda)

Te acercas a $a$ utilizando valores estrictamente menores ( $x < a$ ).
Ejemplo para a = 2: x ∈ {1,9; 1,99; 1,999; …}

$x \to a^+$ (Límite por la Derecha)

Te acercas a $a$ utilizando valores estrictamente mayores ( $x > a$ ).
Ejemplo para a = 2: x ∈ {2,1; 2,01; 2,001; …}

Concepto Clave

"El superíndice negativo (-) denota 'desde la izquierda' (valores menores), no que el número sea de signo negativo."

Laboratorio

Izquierda contra derecha

Escoge un lado y arrastra $x$ hacia $1$ . Mira a qué valor se acerca $f(x)$ .

f(x)
El punto (x, f(x))
La meta: 3

Distancia entre

x

1

h = 0,5

f(x) en x = 0,5

La meta, el límite por la izquierda

\lim_{x \to 1^-} f(x)

Diferencia $|f(x) - 3|$ : 1

f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & x < 1 \\ x^2 + 2 & x \ge 1 \end{cases}

El límite existe y vale 3: los dos lados se acercan al mismo valor y además f(a) vale eso.

Las dos ramas llegan a la misma altura, 3, y además f(1) = 3: por eso el punto está lleno.

Arrastra para acercar x a 1 por la izquierda y mira la diferencia.

El Teorema Fundamental de Existencia

Condición Necesaria y Suficiente

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = L \quad \text{y} \quad \lim_{x \to a^+} f(x) = L

"El límite global bilateral existe si y solo si AMBOS límites laterales existen de forma finita y son EXACTAMENTE IGUALES."

Este teorema es la herramienta central para demostrar que un límite no existe. Basta con encontrar una discrepancia entre el límite izquierdo y el derecho para concluir de inmediato la no existencia del límite ordinario.

Ejercicio 4.1: Análisis Visual

Existencia

Si calculas con certeza matemática que $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4$ y que $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 2$ , ¿qué conclusión se deduce para el límite ordinario en $x = 3$ ?

Ejercicio 4.2: Falso o Verdadero

Teoría

¿Es posible que existan los dos límites laterales como números reales y aun así el límite global no exista?

Funciones a Trozos (Piecewise)

Las funciones definidas por tramos son el escenario paradigmático de los límites laterales. Tienen una regla analítica para los valores menores que la frontera y otra fórmula distinta para los mayores.

Ejemplo Guiado Paso a Paso

f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 1 \\ x^2 + 2 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}

Objetivo: Evaluar $\lim_{x \to 1} f(x)$ .

Izquierda ( $x < 1$ ): Usamos la rama superior $2x + 1$ .
$\lim_{x \to 1^-} (2x+1) = 2(1) + 1 = 3$ .
Derecha ( $x > 1$ ): Usamos la rama cuadrática $x^2 + 2$ .
$\lim_{x \to 1^+} (x^2+2) = 1^2 + 2 = 3$ .

¡Coinciden! Como

L^- = L^+ = 3

, concluimos que

\lim_{x \to 1} f(x) = 3

Ejercicio 4.3: El Valor Absoluto

Singularidad

Analiza el límite $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ .
(Pista: Recuerda que |x| es x si x > 0, y -x si x < 0)

Ejercicio 4.4: Punto Discrepante

Aislamiento

Sea la función:

g(x) = \begin{cases} x & x < 2 \\ 5 & x = 2 \\ x & x > 2 \end{cases}

¿Cuánto vale $\lim_{x \to 2} g(x)$ ?

Concepto Clave

"En funciones a trozos, el punto crítico es donde cambia la fórmula. Es allí donde los límites laterales deciden la existencia del límite."

Ejemplo resuelto

Tres trozos que se pegan

Halla

a

b

para que exista el límite en

x = 1

y en

x = 3

de la función que vale

x^2 - 1

x < 1

ax + b

1 \leq x < 3

, y 8 si

x \geq 3

1
En x = 1, los dos lados
$\begin{aligned} \lim_{x \to 1^-} (x^2 - 1) &= 0 \\ \lim_{x \to 1^+} (ax + b) &= a + b \end{aligned}$
2
En x = 3, los dos lados
$\begin{aligned} \lim_{x \to 3^-} (ax + b) &= 3a + b \\ \lim_{x \to 3^+} 8 &= 8 \end{aligned}$
3
Iguala cada pareja
$\begin{aligned} a + b &= 0 \\ 3a + b &= 8 \end{aligned}$
4
Resuelve el sistema
Restando, $2a = 8$ : $a = 4$ y $b = -4$ . El trozo del medio es $4x - 4$ , que vale 0 en $x = 1$ y 8 en $x = 3$ .

En cada punto donde cambia la fórmula, lo que vale el trozo de la izquierda tiene que ser lo que vale el de la derecha. Si no, como en el parqueadero, el límite no existe.

Desafío tipo PISA: La tarifa postal

Una empresa de paquetería cobra según la masa $w$ en kilogramos con la siguiente estructura de costos:

P(w) = \begin{cases} 10 & \text{si } 0 < w < 1 \\ 20 & \text{si } w \ge 1 \end{cases}

Un usuario en ventanilla afirma: "Mi báscula marca exactamente 1 kg, con un margen de ±1 gramo. ¿Cuál es el precio límite hacia el que converge mi tarifa al acercarme a 1 kg?"

Ejercicio 4.5: El parqueadero a las 2 horas

Con el parqueadero del momento animado ($3.000 la primera hora y $2.000 por cada hora adicional o fracción), ¿cuánto valen los límites laterales del cobro en

t = 2

horas?

Ejercicio 4.6: Dos trozos

f(x) = 2x + 1

para

x < 3

f(x) = x^2 - 1

para

x \geq 3

, ¿existe

\lim_{x \to 3} f(x)

Ejercicio 4.7: El valor de k

f(x) = x^2 + k

para

x < 1

f(x) = 3 - x

para

x \geq 1

, ¿qué valor de

k

hace que exista

\lim_{x \to 1} f(x)

59 minutos o 61 minutos

59 minutos o 61: el lado importa

¿Se encuentran los caminos?

x→a−x \to a^-x→a− (Límite por la Izquierda)

x→a+x \to a^+x→a+ (Límite por la Derecha)

Concepto Clave

Izquierda contra derecha

El Teorema Fundamental de Existencia

Condición Necesaria y Suficiente

Funciones a Trozos (Piecewise)

Ejemplo Guiado Paso a Paso

Concepto Clave

Tres trozos que se pegan

$x \to a^-$ (Límite por la Izquierda)

$x \to a^+$ (Límite por la Derecha)