3. La Definición Precisa (Épsilon-Delta)

Formalización analítica del concepto de límite superando la intuición mediante desigualdades de control métrico estricto.

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Para empezar

Tolerancias

En una fábrica nadie pide que una pieza mida «exactamente» 5 cm: pide que no se aleje más de una tolerancia. Y la máquina tiene que saber con qué precisión trabajar para cumplirla.

La definición precisa de límite es ese juego: alguien pone una tolerancia ε para la salida, y hay que responder con una precisión δ para la entrada. Míralo.

Momento animado

Un reto ε, una respuesta δ

1,51,7522,252,5234564 + ε4 − ε

Etapa 1 de 4 · El reto

Alguien exige: «quiero que f(x)=x2f(x) = x^2 quede a menos de ε=1\varepsilon = 1 de 4». Es la franja roja: de 3 a 5.

El reto, ε1

La respuesta, δ = √(4 + ε) − 2¿?

De la Intuición al Rigor Métrico

Decir que nos "acercamos infinitamente" es una metáfora poética, pero no una definición matemática. En el siglo XIX, Karl Weierstrass desterró el movimiento dinámico y fundamentó el límite sobre desigualdades estáticas de control de error:

La Definición Formal Universal

lim⁡x→af(x)=L  ⟺  (∀ϵ>0)(∃δ>0)(0<∣x−a∣<δ  ⟹  ∣f(x)−L∣<ϵ)\begin{gathered} \lim_{x \to a} f(x) = L \iff \\ (\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0) \\ (0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \epsilon) \end{gathered}
Ejercicio 1: El Entorno Perforado en la Definición Formal

En la definición precisa de Weierstrass aparece la condición 0<∣x−a∣<δ0 < |x - a| < \delta. ¿Por qué es estrictamente mayor que cero (0<∣x−a∣0 < |x - a|)?

Concepto Clave

"El límite existe si para CUALQUIER tolerancia de error ε en el resultado, siempre existe un margen de entrada δ que lo garantiza."

El duelo épsilon-delta

El retador fija el margen ε\varepsilon alrededor de L=5L = 5; tú escoges la tolerancia δ\delta alrededor de a=3a = 3. Función: f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1.

234357(3, 5)5 + ε5 − ε3 + δ
Este δ no sirve: hay x a menos de δ de 3 cuyo f(x) se sale de la franja (el tramo rojo). Baja δ a 0,400 o menos.
ε = 0,80

Franja de salida: (4,20; 5,80)(4{,}20;\ 5{,}80)

δ = 0,55

Entradas permitidas: (2,45; 3,55)(2{,}45;\ 3{,}55), sin contar x=3x = 3

La cuenta de Weierstrass

∣f(x)−5∣=2 ∣x−3∣<2δ|f(x) - 5| = 2\,|x - 3| < 2\delta, así que basta δ≤ε2=0,400\delta \le \tfrac{\varepsilon}{2} = 0{,}400.

Un solo ε no demuestra el límite. La demostración es la regla δ=ε2\delta = \tfrac{\varepsilon}{2}: sirve para cualquier ε que ponga el retador, por pequeño que sea.

Ingeniería Inversa: Construyendo Delta

Para demostrar analíticamente un límite, invertimos el orden lógico: partimos de la desigualdad de salida ∣f(x)−L∣<ϵ|f(x) - L| < \epsilon y despejamos algebraicamente el factor ∣x−a∣|x - a| para aislar la cota de δ\delta.

Ejercicio 2: Ingeniería Inversa para Límites Lineales

Para demostrar formalmente que lim⁡x→4(5x+2)=22\lim_{x \to 4} (5x + 2) = 22, ¿cuál es la elección matemática correcta de δ\delta en función de ϵ\epsilon?

Ejemplo resuelto

Construir δ para una recta

Demuestra que lim⁡x→2(3x−1)=5\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5: para cada ε>0\varepsilon > 0, encuentra un δ>0\delta > 0.
  1. 1

    Escribe lo que hay que lograr

    ∣(3x−1)−5∣<ε|(3x - 1) - 5| < \varepsilon
  2. 2

    Haz aparecer |x − 2|

    ∣3x−6∣=3 ∣x−2∣<ε∣x−2∣<ε3\begin{aligned} |3x - 6| = 3\,|x - 2| &< \varepsilon \\ |x - 2| &< \frac{\varepsilon}{3} \end{aligned}
  3. 3

    Escoge δ

    Con δ=ε3\delta = \tfrac{\varepsilon}{3}: si 0<∣x−2∣<δ0 < |x - 2| < \delta, entonces ∣(3x−1)−5∣=3∣x−2∣<3δ=ε|(3x - 1) - 5| = 3|x - 2| < 3\delta = \varepsilon.
  4. 4

    Prueba con un reto

    Con ε=0,03\varepsilon = 0{,}03, δ=0,01\delta = 0{,}01: si xx está entre 1,99 y 2,01, 3x−13x - 1 está entre 4,97 y 5,03.
En una recta, δ es ε dividido entre la pendiente. En una curva como x2x^2, como en el momento animado, hay que mirar el lado más estrecho.
Desafío tipo PISA: Tolerancia térmica en una fábrica de pistones

En un modelo simplificado de una fábrica de pistones, el diámetro final DD (en cm) depende de la temperatura tt (en °C) según la ley de dilatación D(t)=0,02t+4D(t) = 0{,}02t + 4. El diámetro nominal objetivo es de 5,00 cm a una temperatura calibrada de 50 °C.

Si la norma de calidad estipula un error máximo permitido de ε = 0,01 cm, ¿cuál es la tolerancia máxima permitida de temperatura (δ\delta) para la alarma del horno?

Ejercicio 3: El δ de una recta
Para f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 cerca de x=2x = 2 (donde L=5L = 5), ¿qué δ responde al reto ε=0,1\varepsilon = 0{,}1?
Ejercicio 4: ¿Sirve este δ?
Para f(x)=x2f(x) = x^2 cerca de 2 y el reto ε=1\varepsilon = 1 (que x2x^2 quede entre 3 y 5), ¿cuál de estos δ sirve?
Ejercicio 5: ¿Qué pide la definición?
¿Qué hace falta para que lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L, en la definición precisa?