2. Las Leyes de los Límites

Aprende a calcular límites exactos usando álgebra en lugar de tablas y gráficas.

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Para empezar

¿Cuánta agua lluvia hace potable un pozo?

En Colombia, la Resolución 2115 de 2007 fija en 10 mg/L el máximo de nitratos en el agua para consumo humano. Supón un pozo con 18 mg/L y un tanque de agua lluvia tratada con 2 mg/L.

Si se mezclan, ¿a qué se acerca la concentración? No hace falta una tabla: el límite de la mezcla se arma con los límites de sus partes. Míralo.

Fuente: Resolución 2115 de 2007, artículo 6 (Ministerio de la Protección Social y Ministerio de Ambiente). El pozo y el agua lluvia son datos hipotéticos.

Momento animado

El límite de un cociente, por partes

Nitratos: 18.800 mg (meta 20.000)Agua: 1.400 L (meta 2.000)
01.0002.0003.00005101520x (L)mg/L

Etapa 1 de 4 · La mezcla

1.000 L de agua de pozo con 18 mg/L de nitratos, más xx litros de agua lluvia con 2 mg/L: N(x)=18 000+2x1 000+xN(x) = \frac{18\,000 + 2x}{1\,000 + x} mg/L. Con más agua lluvia, la mezcla queda más limpia.

Sin agua lluvia, N(0) = 18 mg/L; con 3.000 L, N(3.000) = 6 mg/L.

De la Gráfica al Álgebra

En la lección anterior usamos tablas y gráficas para "adivinar" el límite. Eso está bien para entender el concepto, pero es lento e impreciso.

La Analogía del LEGO:

Imagina que quieres pesar un castillo de LEGO. No necesitas una báscula gigante. Si conoces el peso de cada bloque individual, puedes calcular el peso total sumándolos.

En Cálculo:

Si tienes una función compleja hecha de partes pequeñas (sumas, multiplicaciones), y conoces el límite de esas partes pequeñas, ¡puedes hallar el límite total!

Desmontando un Límite

Laboratorio de Leyes

Desglosando límites algebraicamente

lim⁡x→3(2x2+5)\lim_{x \to 3} \left( 2x^2 + 5 \right)

Tenemos un límite de una función compuesta. No necesitamos adivinar con tablas.

El Kit de Herramientas

Supongamos que lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x) y lim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} g(x) existen. Entonces:

Ley de la Suma
lim⁡[f(x)+g(x)]=lim⁡f(x)+lim⁡g(x)\lim [f(x) + g(x)] = \lim f(x) + \lim g(x)
Ley del Producto
lim⁡[f(x)⋅g(x)]=lim⁡f(x)⋅lim⁡g(x)\lim [f(x) \cdot g(x)] = \lim f(x) \cdot \lim g(x)
Ley del Cociente (¡Cuidado!)
lim⁡f(x)g(x)=lim⁡f(x)lim⁡g(x)\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}
Solo si lim⁡g(x)≠0\lim g(x) \neq 0

El Atajo: Propiedad de Sustitución Directa

Si ff es un polinomio o una función racional y aa está en su dominio, no necesitas separar todo paso a paso. Solo evalúa:

lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Ejemplo resuelto

Un polinomio y una raíz, con las leyes

Calcula lim⁡x→2(3x2−5x+1)\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1) y lim⁡x→3x2+16\lim_{x \to 3} \sqrt{x^2 + 16}.
  1. 1

    Separa con las leyes de la suma y del múltiplo

    lim⁡x→2(3x2−5x+1)=3(lim⁡x→2x)2−5lim⁡x→2x+1\begin{aligned} &\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1) \\ &= 3\Big(\lim_{x \to 2} x\Big)^2 - 5\lim_{x \to 2} x + 1 \end{aligned}
  2. 2

    Usa que el límite de x es 2

    =3⋅22−5⋅2+1=3= 3 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 1 = 3
  3. 3

    La raíz: primero lo de adentro

    x2+16x^2 + 16 se acerca a 9+16=259 + 16 = 25, que es positivo, así que vale la ley de la raíz.
    lim⁡x→3x2+16=25=5\lim_{x \to 3} \sqrt{x^2 + 16} = \sqrt{25} = 5
Para un polinomio, las leyes dicen lo mismo que reemplazar: lim⁡x→ap(x)=p(a)\lim_{x \to a} p(x) = p(a). Con un cociente también, siempre que el denominador no se acerque a 0.

Práctica Guiada

Ejercicio 1: Aplicación Directa

Calcula el siguiente límite usando las propiedades (o sustitución directa si es posible):

lim⁡x→2x2+1x−1\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 1}{x - 1}
Ver la explicación completa

Verificamos el denominador primero:

Denominador: 2−1=1≠02 - 1 = 1 \neq 0

Como no es cero, usamos sustitución directa:

22+12−1=4+11=5\frac{2^2 + 1}{2 - 1} = \frac{4+1}{1} = 5
Tipo PISA: Ciencia Aplicada
Ejercicio 2: La Reacción Química
En un experimento, la velocidad de reacción V(t)V(t) depende de la concentración C(t)C(t) y la temperatura T(t)T(t) según la fórmula:

V(t)=2⋅C(t)⋅T(t)V(t) = 2 \cdot C(t) \cdot \sqrt{T(t)}

Sabemos que después de mucho tiempo (límite cuando t→∞t \to \infty):
  • La concentración se estabiliza en 3 unidades (lim⁡C(t)=3\lim C(t) = 3).
  • La temperatura se estabiliza en 16 grados (lim⁡T(t)=16\lim T(t) = 16).

¿Cuál será el valor límite de la velocidad de reacción?

Ver la explicación completa

Aplicamos las leyes de límites a la fórmula física:

lim⁡V(t)=2⋅lim⁡C(t)⋅lim⁡T(t)\lim V(t) = 2 \cdot \lim C(t) \cdot \sqrt{\lim T(t)}

Sustituimos los valores conocidos:

=2⋅(3)⋅16= 2 \cdot (3) \cdot \sqrt{16}
=6⋅4=24= 6 \cdot 4 = 24

Nota: Este ejercicio demuestra que podemos predecir el comportamiento de un sistema complejo si conocemos el comportamiento final de sus componentes.

Ejercicio 3: Un polinomio
Calcula lim⁡x→3(x3−2x+4)\lim_{x \to 3} (x^3 - 2x + 4).
Ejercicio 4: Un producto
Calcula lim⁡x→−2(x2+1)(x−3)\lim_{x \to -2} (x^2 + 1)(x - 3).
Ejercicio 5: Sin conocer las funciones
Si lim⁡x→af(x)=4\lim_{x \to a} f(x) = 4 y lim⁡x→ag(x)=−2\lim_{x \to a} g(x) = -2, ¿cuánto vale lim⁡x→a[3f(x)−g(x)2]\lim_{x \to a} \left[3f(x) - g(x)^2\right]?
Ejercicio 6: Un cociente
Con los mismos límites, lim⁡f=4\lim f = 4 y lim⁡g=−2\lim g = -2, ¿cuánto vale lim⁡x→af(x)g(x)+3\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x) + 3}?
Ejercicio 7: El costo de reciclar
En una estación de reciclaje, el costo promedio por tonelada es C‾(x)=150 000+12 000 000x\overline{C}(x) = 150\,000 + \frac{12\,000\,000}{x} pesos, con xx toneladas al mes (datos hipotéticos). ¿Cuánto vale lim⁡x→80C‾(x)\lim_{x \to 80} \overline{C}(x)?
Ejercicio 8: Cuando la ley no aplica
Para lim⁡x→1x2−1x−1\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}, el denominador se acerca a 0. ¿Cuánto vale el límite?