12. Taller de Resolución de Límites

Para empezar

Una piedra que cae de un puente

Una piedra se suelta desde un puente y, si se desprecia el aire, cae $s(t) = 4{,}9\,t^2$ metros en $t$ segundos. Su velocidad media entre los 2 segundos y los $t$ segundos es $\frac{4{,}9\,t^2 - 19{,}6}{t - 2}$ .

¿A qué velocidad va justo a los 2 segundos? Al reemplazar $t = 2$ queda $\tfrac{0}{0}$ . No es una respuesta: es una señal de que hay que transformar la expresión antes de reemplazar. Mira cómo.

Momento animado

Simplificar para mirar el hueco

Etapa 1 de 4 · 0/0

f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}

\tfrac{0}{0}

x = 2

: la curva tiene un hueco. 0/0 no es una respuesta; es una señal para transformar.

f(1,99) = 3,99 · f(2,01) = 4,01 · f(2) = 0/0, no existe

Rompiendo la Indeterminación

Obtener $0/0$ no significa que el límite no existe. Significa que hay un factor oculto que está "bloqueando" nuestra vista. En este taller aprenderás a quitar ese bloqueo.

Caso 1: Polinomios

Usa Factorización. Si $x \to a$ da cero, ambos lados tienen el factor $(x-a)$ .

Caso 2: Raíces

Usa Racionalización. Multiplica por el conjugado para eliminar la raíz molesta.

Experimentación Matemática

Laboratorio

El hueco del 0/0

Acerca $x$ a 2 y mira el numerador, el denominador y el cociente. Factorizando, $f(x) = x + 2$ para todo $x \neq 2$ .

f(x)
El punto (x, f(x))
La meta: 4
Hueco: ahí f no vale eso

Distancia entre

x

2

h = 0,5

f(x) en x = 1,5

3,5

La meta, el límite por la izquierda

\lim_{x \to 2^-} f(x)

Diferencia $|f(x) - 4|$ : 0,5

f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}

Numerador $x^2 - 4$ -1,75

Denominador $x - 2$ -0,5

Los dos se acercan a 0: en $x = 2$ quedaría $\tfrac{0}{0}$ , y por eso $f(2)$ no existe. El cociente, en cambio, se acerca a 4.

El límite existe y vale 4: los dos lados se acercan al mismo valor, aunque f no está definida en ese punto.

Arrastra para acercar x a 2 por la izquierda y mira la diferencia.

Ejemplo resuelto

La velocidad de la piedra a los 2 segundos

Calcula

\lim_{t \to 2} \frac{4{,}9\,t^2 - 19{,}6}{t - 2}

, la velocidad de la piedra de la apertura justo a los 2 segundos.

1
Reemplazar primero
Arriba, $4{,}9 \cdot 4 - 19{,}6 = 0$ ; abajo, $2 - 2 = 0$ . Queda $\tfrac{0}{0}$ : hay que transformar.
2
Sacar factor común
$\frac{4{,}9\,t^2 - 19{,}6}{t - 2} = \frac{4{,}9\,(t^2 - 4)}{t - 2}$
3
Diferencia de cuadrados y cancelar, con t ≠ 2
$\frac{4{,}9\,(t - 2)(t + 2)}{t - 2} = 4{,}9\,(t + 2)$
4
Ahora sí, reemplazar
$\lim_{t \to 2} 4{,}9\,(t + 2) = 4{,}9 \cdot 4 = 19{,}6$

A los 2 segundos, la piedra cae a 19,6 metros por segundo, unos 71 km/h. Es 4,9 veces el límite de

\frac{t^2 - 4}{t - 2}

, el hueco del momento animado.

Ejercicios: límites

Ejercicio 1: Reto de Factorización (Diferencia de Cuadrados)

Evalúa analíticamente el límite indeterminado $0/0$ observado en el laboratorio:

L = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}

Ejercicio 2 (tipo PISA): Farmacología (Concentración Límite de Fármaco)

La concentración en plasma sanguíneo de un antibiótico administrado se modela mediante $C(t) = \frac{\sqrt{t} - 3}{t - 9}$ (en mg/L, con $t$ en minutos).

Al minuto $t = 9$ , la fórmula directa produce $0/0$ . ¿Cuál es la concentración límite real $\lim_{t \to 9} C(t)$ obtenida por racionalización?

Ejercicio 3: Factorizar arriba y abajo

Calcula

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x - 3}

Ejercicio 4: La raíz está abajo

Calcula

\lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{\sqrt{x - 1} - 2}

Ejercicio 5: ¿Todo es 0/0?

¿Qué pasa con

\lim_{x \to 2} \frac{x + 3}{x - 2}

Ejercicio 6: La huerta de Leticia

La huerta escolar que cuida Kevin, en Leticia, es cuadrada. Si el lado pasa de 5 m a

x

metros, el área cambia en promedio

\frac{x^2 - 25}{x - 5}

metros cuadrados por cada metro de lado. ¿A qué se acerca ese cociente cuando

x \to 5

Resumen del Taller

Recuerda: Si el límite da $0/0$ , la respuesta está ahí, solo está disfrazada. No te rindas en la primera sustitución. Usa el álgebra como tu bisturí para revelar el valor real.