11. Tangentes y Velocidad Instantánea

Para empezar

¿A qué ritmo se derrite el hielo ahora?

Los glaciares de Colombia pasaron de 47,41 km² de hielo en 2010 a 30,83 km² en 2024: en promedio, perdieron 1,18 km² por año. Pero de 2016 a 2020 fueron 1,32 por año, y de 2020 a 2024, 1,09.

Un promedio es la pendiente de una secante. El ritmo de un instante es la de una tangente. Míralo con un bus.

Fuente: IDEAM, «Glaciares en Colombia, área y cobertura glaciar», consultado el 20 de octubre de 2026.

Momento animado

De la velocidad media a la del instante

Etapa 1 de 4 · El bus arranca

Un bus eléctrico sale de la estación. Mientras avanza, se dibuja la distancia que lleva:

s(t) = 0{,}5\,t^2

metros.

t = 0,0 s · s = 0,0 m

La Paradoja del Velocímetro

La velocidad se define como $\text{distancia} / \text{tiempo}$ . Para medirla, necesitas dos puntos en el tiempo: dónde estabas antes y dónde estás ahora. Sin embargo, una foto instantánea no deja pasar tiempo ( $\Delta t=0$ ) ni recorrer distancia ( $\Delta d=0$ ).

Velocímetro de un carro que marca la velocidad en este instante

El Problema Matemático

v = \frac{\Delta d}{\Delta t} = \frac{0}{0} \quad (?)

Isaac Newton y Gottfried Leibniz resolvieron esto en el siglo XVII al crear el cálculo, y hoy lo escribimos con límites: no dividimos por cero, sino que hacemos el intervalo de tiempo cada vez más pequeño y miramos a qué valor se acerca el cociente. Ese valor es la velocidad instantánea: en el bus, 10 m/s a los 10 segundos.

Ahora tú: de la secante a la tangente

Geométricamente, la velocidad promedio es la pendiente de una recta secante (pasa por dos puntos de la curva).
La velocidad instantánea es la pendiente de la recta tangente (la recta que mejor se pega a la curva en ese punto; lejos de él puede volver a cortarla).

Laboratorio

De la secante a la tangente

Arrastra $h$ hacia 0 y mira qué le pasa a la pendiente de la secante.

$f(x)=0{,}5x^2$
Secante por P y Q
Tangente en P (la meta)

Pendiente de la secante

3,0000

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Pendiente de la tangente

2,0000

$f'(2)$ , la derivada

Diferencia: 1,0000

Distancia entre P y Qh = 2,00

Secante: la recta roja une P y Q, que están separados.

La Fórmula Maestra

Si tenemos una función $f(x)$ y queremos la pendiente en el punto $x = a$ :

Paso 1: La Pendiente Secante

m_{sec} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Donde $h$ es la distancia horizontal entre los puntos.

Paso 2: La Pendiente Tangente

m_{tan} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Esta es la definición de la derivada, el tema del módulo 3.

Ejemplo resuelto

La tangente a la parábola en (1, 1)

Halla la recta tangente a

y = x^2

P = (1, 1)

1
Toma un segundo punto Q a una distancia h
Con $Q = (1 + h, (1 + h)^2)$ , la pendiente de la secante por P y Q es:
$\begin{aligned} \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} &= \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} \end{aligned}$
2
Simplifica (vale porque h no es 0)
$\frac{2h + h^2}{h} = 2 + h$
3
Mira a dónde va cuando h se acerca a 0
Con $h = 2$ ; 1 y 0,5 salen pendientes 4; 3 y 2,5. Con $h = 0{,}01$ sale 2,01, y con $h = -0{,}01$ , 1,99. Por los dos lados se acercan a 2.
$\lim_{h \to 0} (2 + h) = 2$
4
Escribe la recta con punto y pendiente
$\begin{aligned} y - 1 &= 2(x - 1) \\ y &= 2x - 1 \end{aligned}$

Cerca de P, la parábola y la recta

y = 2x - 1

casi no se distinguen: si haces zoom en P, la curva se ve cada vez más recta, y esa recta es la tangente.

Práctica de definición

Pregunta 1 · La tangente a la parábola

Para

y = x^2

, las secantes por

x = 3

x = 3 + h

tienen pendiente 7 con

h = 1

; 6,1 con

h = 0{,}1

; 6,01 con

h = 0{,}01

, y 5,99 con

h = -0{,}01

. ¿Cuál es la recta tangente en

(3, 9)

Pregunta 2 · Una curva que baja

Para

f(x) = \frac{1}{x}

, la pendiente de la secante por

x = 1

x = 1 + h

da −0,5 con

h = 1

; −0,909 con

h = 0{,}1

, y −0,990 con

h = 0{,}01

. ¿A qué valor se acercan?

Pregunta 3 · El bus entre 4 y 6 segundos

El bus del momento animado recorre

s(t) = 0{,}5\,t^2

metros. ¿Cuál es su velocidad media entre

t = 4

s y

t = 6

Pregunta 4 · El glaciar de El Cocuy

Según el IDEAM, el glaciar de la Sierra Nevada de El Cocuy o Güicán tenía 16,54 km² de hielo en 2010 y 11,88 km² en 2024. ¿Cuál es la pendiente de la secante por esos dos puntos de la gráfica del área?

Pregunta 5 · Una tangente que vuelve a cortar

Las secantes a

y = x^3

por

(1, 1)

tienen pendiente 3,31 con

h = 0{,}1

y 3,0301 con

h = 0{,}01

: la tangente en

(1, 1)

y = 3x - 2

. ¿Qué es cierto de esa tangente?

Pregunta 6 · Qué mide cada cosa

En la gráfica

s(t) = 0{,}5\,t^2

del bus, ¿qué mide la pendiente de la tangente en

t = 10

Ejercicio 7: Pendiente de una Parábola

Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva $f(x) = x^2$ en el punto $x = 3$ usando la definición del límite.

\lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 3^2}{h}

Ver la explicación completa

1. Expandimos $(3+h)^2$ :

9 + 6h + h^2

2. Sustituimos en el límite:

\lim_{h \to 0} \frac{(9 + 6h + h^2) - 9}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{6h + h^2}{h}

3. Factorizamos $h$ y cancelamos:

\lim_{h \to 0} (6 + h)

4. Evaluamos el límite ( $h=0$ ):

Tipo PISA: Física / Caída Libre

Ejercicio 8: La Moneda de Galileo

Galileo deja caer una moneda desde la Torre de Pisa. La distancia caída (en metros) después de $t$ segundos es $s(t) = 5t^2$ .

Queremos saber la velocidad instantánea exacta a los 2 segundos ( $t=2$ ).

Nota: Calcula el límite de la velocidad promedio entre $2$ y $2+h$ .

Ver la explicación completa

Calculamos $s'(2)$ :

\lim_{h \to 0} \frac{5(2+h)^2 - 5(2)^2}{h}

$= \lim_{h \to 0} \frac{5(4 + 4h + h^2) - 20}{h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{20 + 20h + 5h^2 - 20}{h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{20h + 5h^2}{h}$
$= \lim_{h \to 0} (20 + 5h) = 20$

20 m/s