10. Límites Trigonométricos Especiales

Dominando el límite de sin(x)/x y sus variaciones usando la intuición geométrica.

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Para empezar

Ángulos pequeños

En física e ingeniería se usa un atajo: para un ángulo pequeño, medido en radianes, su seno es casi el mismo número. Con 5° (unos 0,0873 radianes), el seno es 0,0872.

¿Por qué funciona, y por qué solo en radianes? Por un límite: sin⁡xx\frac{\sin x}{x} se acerca a 1. Míralo en el círculo.

Momento animado

El arco y el seno se confunden

sin xarco x

Etapa 1 de 4 · Arco y seno

En el círculo de radio 1, un ángulo de 1 radián tiene un arco de largo 1 (azul) y un seno de 0,84 (rojo, el cateto vertical). El arco es más largo.

x = 1 · sin x = 0,8414710 · sin x ÷ x = 0,8414710

El Misterio del 0 sobre 0

Si intentamos evaluar directamente lim⁡x→0sin⁡(x)x\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}, obtenemos:

sin⁡(0)0=00\frac{\sin(0)}{0} = \frac{0}{0}

¡Es una indeterminación! Pero no temas. Si miras la gráfica de sin⁡(x)\sin(x) muy de cerca (cerca del origen), se parece mucho a una línea recta. Específicamente, se parece a la línea y=xy = x.

Laboratorio de Convergencia

Usa el deslizador para hacer «zoom» en el origen. En la vista de las curvas, el seno (azul) y la recta (roja) se vuelven casi indistinguibles; en la del cociente, mira cómo se acerca a 1 sin llegar.

Laboratorio

Microscopio trigonométrico

Arrastra xx hacia 0. La ventana se acerca contigo: mira el cociente y las dos curvas.

  • f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}
  • El cociente en x
  • La meta: 1
  • Hueco: en 0 no existe
x = 1
lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

El cociente en x = 1

0,841471

La meta, el límite

1

Diferencia: 0,158529 · f(x) = 0,841471 y g(x) = 1, los dos cerca de 0 · aumento de 2 veces

Pendientes de las tangentes en 0: f′(0)=1f'(0) = 1 y g′(0)=1g'(0) = 1. Cerca de 0, sin⁡x\sin x se parece cada vez más a su tangente y=xy = x, que es justo gg: por eso el cociente se acerca a 1. Pero no llega: para x≠0x \neq 0, ∣sin⁡x∣<∣x∣|\sin x| < |x|, así que el cociente siempre queda por debajo de 1.

x = 1 no es 0: el cociente vale 0,841471, a 0,158529 de 1. Al acercar x a 0, la diferencia se encoge: 1 es el límite, y el cociente no lo alcanza en ningún x de aquí.

Los Dos Límites Sagrados

Gracias al Teorema del Sándwich (o de la Compresión), podemos demostrar formalmente dos resultados que debes memorizar:

El Fundamental
lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1

Significa que para xx muy pequeño, sin⁡(x)≈x\sin(x) \approx x.

El Compañero
lim⁡x→01−cos⁡(x)x=0\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x} = 0

El coseno se aplana en la cima, cambiando muy lento.

¡Ojo! Estos límites solo funcionan si el argumento del seno (lo que está adentro) es exactamente igual al denominador y ambos tienden a cero.
Ejemplo: lim⁡x→0sin⁡(5x)5x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} = 1.

Ejemplo resuelto

Ajustar el ángulo de abajo

Calcula lim⁡x→0sin⁡(5x)2x\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{2x}.
  1. 1

    Reemplazar da 0/0

    Arriba sin⁡0=0\sin 0 = 0 y abajo 0. Hay que llevarlo a la forma sin⁡uu\frac{\sin u}{u}, con el mismo ángulo arriba y abajo.
  2. 2

    Multiplica y divide entre 5

    sin⁡(5x)2x=52⋅sin⁡(5x)5x\frac{\sin(5x)}{2x} = \frac{5}{2} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x}
  3. 3

    Cambia de variable

    Con u=5xu = 5x: cuando x→0x \to 0, también u→0u \to 0, y sin⁡uu→1\frac{\sin u}{u} \to 1.
  4. 4

    Concluye

    lim⁡x→0sin⁡(5x)2x=52⋅1=52\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{2x} = \frac{5}{2} \cdot 1 = \frac{5}{2}
Comprobación con un valor cercano: con x=0,01x = 0{,}01, sin⁡0,050,02≈2,499\frac{\sin 0{,}05}{0{,}02} \approx 2{,}499, muy cerca de 2,5.

Entrenamiento

Ejercicio 1: Ajustando el Argumento

Calcula el valor del siguiente límite usando la propiedad fundamental:

lim⁡x→0sin⁡(7x)x\lim_{x \to 0} \frac{\sin(7x)}{x}
Ver la explicación completa

Necesitamos un 7x7x en el denominador para usar la fórmula.

lim⁡x→0sin⁡(7x)x⋅77=7⋅lim⁡x→0sin⁡(7x)7x⏟1\lim_{x \to 0} \frac{\sin(7x)}{x} \cdot \frac{7}{7} = 7 \cdot \underbrace{\lim_{x \to 0} \frac{\sin(7x)}{7x}}_{1}
7⋅1=77 \cdot 1 = 7
Tipo PISA: Física / Péndulos
Ejercicio 2: La Aproximación de Ángulos Pequeños

La fórmula de colegio para el periodo de un péndulo simple supone oscilaciones pequeñas: para ángulos pequeños θ\theta (en radianes), reemplaza sin⁡(θ)\sin(\theta) por θ\theta.

Con un ángulo máximo de θ=0,1\theta = 0{,}1 radianes, el error porcentual de esa aproximación es de apenas 0,17% aproximadamente. Se mide así:

Error = ∣θ−sin⁡(θ)sin⁡(θ)∣×100|\frac{\theta - \sin(\theta)}{\sin(\theta)}| \times 100

¿Qué valor tiene el límite de este error porcentual cuando θ→0\theta \to 0?

Ver la explicación completa

Analizamos el comportamiento cuando θ→0\theta \to 0.

lim⁡θ→0(θsin⁡(θ)−1)×100\lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\theta}{\sin(\theta)} - 1 \right) \times 100

Sabemos que el límite invertido θsin⁡(θ)→1\frac{\theta}{\sin(\theta)} \to 1.

(1−1)×100=0(1 - 1) \times 100 = 0

Por eso la fórmula del péndulo funciona tan bien en oscilaciones pequeñas: el error de cambiar sin⁡(θ)\sin(\theta) por θ\theta tiende a cero.

Ejercicio 3: Un 3 adentro
Calcula lim⁡x→0sin⁡(3x)x\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}.
Ejercicio 4: Un 2 abajo
Calcula lim⁡x→0sin⁡x2x\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x}.
Ejercicio 5: La tangente
Calcula lim⁡x→0tan⁡xx\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}.
Ejercicio 6: El otro límite
Calcula lim⁡x→01−cos⁡xx\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}.
Ejercicio 7: ¿Grados o radianes?
Si xx se mide en grados, ¿a qué valor se acerca sin⁡xx\frac{\sin x}{x} cuando xx se acerca a 0?