1. La Idea Intuitiva de Límite | Cálculo Diferencial

Para empezar

¿Qué marca el velocímetro justo ahora?

Una moto arranca en un semáforo. A los 3 segundos, su velocímetro marca un número. Pero velocidad es distancia sobre tiempo, y en un instante no pasa tiempo ni se recorre distancia: la cuenta da $\tfrac{0}{0}$ .

¿De dónde sale ese número? De mirar qué pasa cada vez más cerca del instante. Esa es la idea de límite. Mírala moverse.

Momento animado

Acercarse a x = 2 sin llegar

Etapa 1 de 4 · La curva

Se dibuja

f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2}

. En

x = 2

la fórmula da

\tfrac{0}{0}

, que no es un número: la curva queda con un hueco.

Lo que acabas de ver, con nombre

En Álgebra, si quieres saber qué pasa con $f(x)$ en $x=2$ , sustituyes. Pero a veces no se puede: con $\frac{x^3 - 8}{x - 2}$ , sustituir da $\tfrac{0}{0}$ . Lo que sí se puede es mirar hacia dónde van los valores cuando $x$ se acerca a 2.

Definición intuitiva

El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es el valor $L$ al que se acercan los valores de la función, tanto como se quiera, cuando $x$ se acerca a $a$ por los dos lados, sin ser igual a $a$ .

\lim_{x \to a} f(x) = L

Regla de oro: no importa qué pasa exactamente en $x=a$ . Puede haber un hueco, como en el momento animado, o un punto aparte. Solo importan los alrededores.

Ahora tú: explora el hueco

Laboratorio

Acercarse al hueco

En $x = 2$ la fórmula da $\tfrac{0}{0}$ . Acércate por un lado y mira a qué valor se acerca $f(x)$ .

f(x)
El punto (x, f(x))
La meta: 4
Hueco: ahí f no vale eso

Distancia entre

x

2

h = 0,5

f(x) en x = 1,5

3,5

La meta, el límite por la izquierda

\lim_{x \to 2^-} f(x)

Diferencia $|f(x) - 4|$ : 0,5

f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}

Numerador $x^2 - 4$ -1,75

Denominador $x - 2$ -0,5

Los dos se acercan a 0: en $x = 2$ quedaría $\tfrac{0}{0}$ , y por eso $f(2)$ no existe. El cociente, en cambio, se acerca a 4.

El límite existe y vale 4: los dos lados se acercan al mismo valor, aunque f no está definida en ese punto.

Arrastra para acercar x a 2 por la izquierda y mira la diferencia.

Ejemplo resuelto

La velocidad de la moto a los 3 segundos

Supón que la moto de la apertura recorre

s(t) = 2t^2

metros en los primeros

t

segundos (datos hipotéticos, para poder hacer las cuentas). ¿A qué velocidad va justo en

t = 3

1
Velocidad media entre 3 s y t segundos
Distancia recorrida sobre tiempo: $s(3) = 18$ m.
$\frac{s(t) - s(3)}{t - 3} = \frac{2t^2 - 18}{t - 3}$
2
En t = 3 no se puede reemplazar
Quedaría $\tfrac{18 - 18}{3 - 3} = \tfrac{0}{0}$ : no es un número. Se mira cerca de 3.
3
Una tabla a los dos lados de 3
$t = 2{,}9$ : 11,8 · $t = 2{,}99$ : 11,98 · $t = 3{,}01$ : 12,02 · $t = 3{,}1$ : 12,2 (en m/s).
4
El álgebra confirma la tabla
Para $t \neq 3$ se puede simplificar, y cerca de 3 queda casi $2 \cdot 6 = 12$ .
$\begin{aligned} \frac{2t^2 - 18}{t - 3} &= \frac{2(t - 3)(t + 3)}{t - 3} \\ &= 2(t + 3) \end{aligned}$

Por los dos lados, las velocidades medias se acercan a 12:

\lim_{t \to 3} \frac{2t^2 - 18}{t - 3} = 12

. A los 3 segundos la moto va a 12 m/s, que es lo que marca el velocímetro (unos 43 km/h).

La Regla de los Dos Caminos

Para que el límite exista, los caminos de la izquierda y la derecha deben encontrarse en el mismo destino. En el momento animado, los dos puntos rojos iban a la misma altura, 12.

Límite Izquierdo

\lim_{x \to a^-} f(x)

Valores $x < a$

Límite Derecho

\lim_{x \to a^+} f(x)

Valores $x > a$

Teorema de existencia

El límite existe si y solo si los dos laterales existen y son iguales:

L_- = L_+

Comprueba tu intuición

Pregunta 1 · Con una tabla

Para

f(x) = \frac{x^2 + x - 2}{x - 1}

se calculó:

f(0{,}9) = 2{,}9

f(0{,}99) = 2{,}99

f(1{,}01) = 3{,}01

f(1{,}1) = 3{,}1

. ¿Cuánto vale

\lim_{x \to 1} f(x)

Pregunta 2 · El punto no manda

Una función cumple

h(x) = 2x + 1

para todo

x \neq 2

, pero

h(2) = 7

. ¿Cuánto vale

\lim_{x \to 2} h(x)

Pregunta 3 · Un límite famoso

Con

x

en radianes,

\frac{\sin x}{x}

vale 0,9983342 en

x = \pm 0{,}1

; 0,9999833 en

x = \pm 0{,}01

, y 0,9999998 en

x = \pm 0{,}001

. ¿Cuánto vale el límite cuando

x \to 0

Pregunta 4 · La moto en t = 1 s

La moto del ejemplo recorre

s(t) = 2t^2

metros. Su velocidad media entre 1 s y

t

segundos es

\frac{2t^2 - 2}{t - 1}

. ¿A qué velocidad va justo en

t = 1

Pregunta 5 · Una raíz

Para

g(x) = \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}

se calculó

g(0{,}01) \approx 0{,}2498

g(-0{,}01) \approx 0{,}2502

. ¿Cuál es la mejor estimación de

\lim_{x \to 0} g(x)

Pregunta 6 · Qué dice la notación

¿Qué quiere decir

\lim_{x \to a} f(x) = L

Ejercicio 7: El Salto

Analiza la función $g(x)$ :

x < 3

→vale 2

x > 3

→vale 5

¿Cuánto vale $\lim_{x \to 3} g(x)$ ?

Ver la explicación completa

Calculamos los laterales:

Límite izquierdo: $2$
Límite derecho: $5$

Como $2 \neq 5$ , el límite no existe.

Tipo PISA: Física Experimental

Ejercicio 8: Tendencia Numérica

Un sensor mide la velocidad de un objeto acercándose al segundo 3. Los datos son:

Tiempo	3,1 s	3,01 s	3,001 s
Velocidad	6,1	6,01	6,001

¿A qué número entero se está acercando la velocidad?

Ver la explicación completa

La sucesión 6,1; 6,01; 6,001… se acerca cada vez más a 6.

Nota: esta es la base de la velocidad instantánea, que en la lección 2.11 se vuelve la derivada.