9. Composición de Funciones | Cálculo Diferencial

Una Máquina dentro de otra

Hasta ahora hemos sumado funciones. Pero la operación más poderosa del Cálculo es la Composición.

Imagina una línea de montaje. La materia prima (x) entra en la Máquina $g$ , se transforma, y el resultado sale directo a la boca de la Máquina $f$ . No sumamos los resultados; encadenamos los procesos.

Línea de Montaje de Funciones

Entrada: $x$ [Máquina 1] [Máquina 2] Salida Final

Entrada x:2

2

Input (x)

Paso 1

g(x) = x^2

4

Paso 2

f(u) = u + 3

7

Output Final

(f \circ g)(x) = f(g(x))

"Primero elevamos al cuadrado, LUEGO sumamos 3."

¡El orden es vital!
Ponerse los calcetines y luego los zapatos

Z(C(x))

da un resultado muy distinto a ponerse los zapatos y luego los calcetines

C(Z(x))

.

Concepto Clave

"La notación (f ∘ g)(x) se lee 'f compuesta con g', pero se calcula de derecha a izquierda: primero g, luego f."

Calculando Composiciones

Para calcular $f(g(x))$ , tomas la ecuación de $f$ y reemplazas cada letra $x$ que veas por la función entera $g(x)$ .

Ejemplo:

$f(x) = x^2$ (Carcasa exterior)

$g(x) = x + 1$ (Relleno interior)

$f(g(x)) = (x+1)^2$

Reemplazamos la x de f por (x+1)

Ejercicios de Mecánica

Práctica

Si $f(x) = \frac{1}{x}$ y $g(x) = x - 2$ , encuentra $(f \circ g)(x)$ y su dominio.

Ver Solución

Resultado: $f(g(x)) = \frac{1}{x-2}$ .

Dominio:

El denominador no puede ser cero, así que $x \neq 2$ .

Tipo PISA

Una tienda ofrece un descuento del 10% ( $D(x) = 0.90x$ ) y luego cobra un cupón de $50 de rebaja ( $R(x) = x - 50$ ).
Como cliente, ¿qué prefieres: $R(D(x))$ o $D(R(x))$ ?

Ver Solución

Prefieres $D(R(x))$ (Restar primero, luego porcentaje).

Si el producto vale 100:
$R(D(100)) = R(90) = 40$ .
$D(R(100)) = D(50) = 45$ .
¡Espera! Como cliente quieres pagar menos. Así que prefieres $R(D(x))$ (Aplicar el % primero a la cantidad grande, y luego restar los $50).

Descomposición: Visión de Rayos X

En Cálculo, a menudo te darán la función complicada y tendrás que averiguar cuáles eran las piezas originales. Esto es fundamental para la Regla de la Cadena (derivadas) y el Método de Sustitución (integrales).

Estrategia: Busca los paréntesis. Lo que está adentro del paréntesis (o bajo la raíz, o en el exponente) suele ser la función interna

g(x)

.

Ejercicios de Descomposición

Práctica

Expresa $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ como $f(g(x))$ .

Ver Solución

Interna (adentro): $g(x) = x^2 + 1$ .

Externa (lo que queda): $f(u) = \sqrt{u}$ .

Tipo PISA

Un biólogo observa que la población de ranas $P$ depende de la lluvia $L$ , y la lluvia depende del tiempo $t$ .
Si escribimos $N = P(L(t))$ , ¿qué significan las unidades de la derivada de esta composición?

Ver Solución

Representa la tasa de cambio de la población de ranas respecto al tiempo.
$\frac{dN}{dt}$ se mediría en "ranas por año" (o la unidad de tiempo usada). Muestra cómo la cadena de eventos climáticos afecta finalmente a la biología.

Concepto Clave

"Si ves sin(x²), x² es la interna. Si ves sin²(x), sin(x) es la interna. La notación importa."