9. Composición de Funciones | Cálculo Diferencial

Una Máquina dentro de otra

Situación real

¿En qué minuto el agua del pozo cumple la norma?

En Colombia, el agua para consumo humano puede tener como máximo 10 mg/L de nitratos. Supongamos que el agua de un pozo tiene 18 mg/L y que a 1.000 litros de ese pozo se les agrega agua lluvia tratada, con 2 mg/L, a 50 litros por minuto.

Hay dos funciones encadenadas: los minutos dicen cuántos litros han entrado, $x(t) = 50t$ , y los litros dicen la concentración, $N(x) = \dfrac{18\,000 + 2x}{1\,000 + x}$ . Para saber la concentración en cada minuto hay que meter una dentro de la otra.

Fuente: Resolución 2115 de 2007 del Ministerio de la Protección Social y el de Ambiente, artículo 6 (máximo de 10 mg/L de nitratos). Las concentraciones del pozo y del tanque son datos hipotéticos de las secciones 10.4 y 10.7 de «Matemáticas para un mundo sostenible».

Encadenar funciones así se llama componerlas. Imagina una línea de montaje: la materia prima (x) entra en la máquina $g$ , se transforma, y el resultado sale directo a la boca de la máquina $f$ . No sumamos los resultados; encadenamos los procesos. Míralo con números.

Momento animado

Dos máquinas en cadena

Etapa 1 de 5 · Las entradas

Cinco entradas en la primera recta:

-2, -1, 0, 1

y 2. Van a pasar por dos máquinas,

g(x) = x + 3

y

f(u) = u^2

.

Línea de Montaje de Funciones

Entrada: $x$ [Máquina 1] [Máquina 2] Salida Final

Entradax = 2

2

Entrada (x)

Paso 1

g(x) = x^2

4

Paso 2

f(u) = u + 3

7

Salida final

(f \circ g)(x) = f(g(x))

"Primero elevamos al cuadrado, LUEGO sumamos 3."

Concepto Clave

"La notación (f ∘ g)(x) se lee 'f compuesta con g', pero se calcula de derecha a izquierda: primero g, luego f."

Calculando Composiciones

Para calcular $f(g(x))$ , tomas la ecuación de $f$ y reemplazas cada letra $x$ que veas por la función entera $g(x)$ .

Paso a paso: el agua del pozo

1
Identifica la de adentro y la de afuera
Primero pasa el tiempo (cuántos litros entran) y después se calcula la concentración: x(t) va adentro y N afuera.
$N\big(x(t)\big)$
2
Reemplaza cada x de N por 50t
$\begin{aligned} N\big(x(t)\big) &= \frac{18\,000 + 2 \cdot 50t}{1\,000 + 50t} \\ &= \frac{18\,000 + 100t}{1\,000 + 50t} \end{aligned}$
3
Úsala para responder
La norma se cumple con 10 mg/L. Prueba con t = 20 minutos.
$\begin{aligned} N\big(x(20)\big) &= \frac{18\,000 + 2\,000}{1\,000 + 1\,000} \\ &= \frac{20\,000}{2\,000} = 10 \end{aligned}$
4
Interpreta
A los 20 minutos han entrado 50 · 20 = 1.000 litros de agua lluvia y la mezcla llega justo a 10 mg/L. Desde ahí cumple la norma, porque la concentración sigue bajando hacia 2 mg/L.

Ejercicios: Mecánica y Optimización de Composición

Composición Racional y Dominio

Si $f(x) = \frac{1}{x}$ y $g(x) = x - 2$ , determina $(f \circ g)(x)$ y su dominio:

Optimización de Descuentos Encadenados

Una tienda ofrece 10% de descuento ( $D(x) = 0{,}90x$ ) y cupón de $50 ( $R(x) = x - 50$ ). ¿Cuál orden conviene al comprador?

Ejercicio 5: Evaluar una composición

Si $f(x) = 2x - 1$ y $g(x) = x^2 + 1$ , ¿cuánto vale $(f \circ g)(2)$ ?

Ejercicio 6: El dominio de una composición

Si $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x^2 - 9$ , ¿cuál es el dominio de $f(g(x))$ ?

Descomposición: Visión de Rayos X

En Cálculo, a menudo te darán la función complicada y tendrás que averiguar cuáles eran las piezas originales. Esto es fundamental para la Regla de la Cadena (derivadas) y el Método de Sustitución (integrales).

Estrategia: Busca los paréntesis. Lo que está adentro del paréntesis (o bajo la raíz, o en el exponente) suele ser la función interna

g(x)

.

Ejercicios: Descomposición y Regla de la Cadena

Descomposición Canónica de Funciones

Expresa $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ en la forma $f(g(x))$ :

Interpretación de la Cadena Ecológica

Si ranas $N = P(L(t))$ donde lluvia $L$ depende de tiempo $t$ , ¿qué representa $\frac{dN}{dt}$ ?

Concepto Clave

"Si ves sin(x²), x² es la interna. Si ves sin²(x), sin(x) es la interna. La notación importa."