8. Álgebra de Funciones

Cómo combinar funciones usando las 4 operaciones básicas y el peligro de los dominios.

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Mezclando Ingredientes

Momento animado

Sumar funciones es sumar alturas

5101520204060800x (m³)miles de $
  • f: cargo fijo
  • g: consumo

Etapa 1 de 4 · Dos funciones

La factura del acueducto tiene dos partes (tarifas hipotéticas): un cargo fijo, f(x)=12 000f(x) = 12\,000, que no depende del consumo, y el consumo, g(x)=3 500xg(x) = 3\,500x, que crece con los metros cúbicos.

Las funciones son como números. Puedes sumarlas, restarlas, multiplicarlas y dividirlas. La regla de oro es: Operamos las yy, pero mantenemos la xx.

Definición:Para calcular (f+g)(x)(f+g)(x), simplemente calculas f(x)f(x), calculas g(x)g(x) y sumas los resultados.

La Licuadora de Funciones

f(x)=0,5x+1f(x) = 0{,}5x + 1 (Línea) y g(x)=2sin⁡(x)g(x) = 2\sin(x) (Onda). Observa qué pasa con la altura resultante (negra).

Nota cómo la onda 'se monta' sobre la pendiente de la línea.

Concepto Clave

"Visualmente, (f+g)(x) significa poner la gráfica de g encima de la gráfica de f. Es una suma de alturas."

Las Cuatro Operaciones

La notación puede parecer intimidante, pero es solo una forma corta de escribir instrucciones aritméticas.

Suma y Resta
(f±g)(x)=f(x)±g(x)(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)
Producto y Cociente
(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)
(fg)(x)=f(x)g(x),g(x)≠0\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, \quad g(x) \neq 0

Paso a paso: un cociente con un hueco

Con f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 y g(x)=x−1g(x) = x - 1, encuentra (fg)(x)\left(\tfrac{f}{g}\right)(x) y su dominio.

  1. 1

    Escribe el cociente

    (fg)(x)=x2−1x−1\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}
  2. 2

    Saca el dominio antes de simplificar

    f y g existen para todo x, pero el denominador no puede ser 0: g(x) = 0 en x = 1.
    x≠1x \ne 1
  3. 3

    Simplifica

    x² − 1 es una diferencia de cuadrados.
    (x−1)(x+1)x−1=x+1con x≠1\begin{gathered} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \\ \text{con } x \ne 1 \end{gathered}
  4. 4

    Evalúa con cuidado

    En x = 3 vale 4. En x = 1 no existe, aunque x + 1 daría 2: la gráfica es la recta y = x + 1 con un hueco en (1, 2).
    (fg)(3)=82=4\left(\frac{f}{g}\right)(3) = \frac{8}{2} = 4

Ejercicios: Álgebra y Significado Económico

Evaluación del Producto Puntual

Si f(x)=x−5f(x) = x - 5 y g(x)=x2g(x) = x^2, encuentra (f⋅g)(3)(f \cdot g)(3):

Interpretación Económica de la Resta

Si I(x)I(x) son los ingresos y C(x)C(x) los costos por fabricar xx zapatos, ¿qué significa que (I−C)(100)<0(I - C)(100) < 0?

La Trampa del Dominio

Aquí es donde muchos fallan. Para que (f+g)(x)(f+g)(x) exista, TANTO f(x)f(x) COMO g(x)g(x) deben existir.

Regla de Oro

El dominio de la combinación es la INTERSECCIÓN (∩\cap) de los dominios individuales.

Df+g=Df∩DgD_{f+g} = D_f \cap D_g

Excepción: Si divides, además debes quitar los puntos donde el denominador se hace cero.

Ejercicios: Dominios e Intersección

Dominio de una Suma de Radicales

Calcula el dominio de h(x)=x+5−xh(x) = \sqrt{x} + \sqrt{5-x}:

Compatibilidad Temporal de Dominios

La máquina A opera de 8 a. m. a 2 p. m. ([8,14][8, 14]) y la máquina B de 12 m. a 6 p. m. ([12,18][12, 18]). ¿En qué horario existe producción combinada P(t)=A(t)+B(t)P(t) = A(t) + B(t)?

Ejercicio 2.3: El dominio de una suma

Si f(x)=xf(x) = \sqrt{x} y g(x)=4−xg(x) = \sqrt{4 - x}, ¿cuál es el dominio de f+gf + g?

Concepto Clave

"Piensa en el dominio intersección como 'horarios compatibles'. Si tu amigo puede salir el sábado y tú el domingo, no pueden salir juntos (Intersección vacía)."