8. Álgebra de Funciones

Cómo combinar funciones usando las 4 operaciones básicas y el peligro de los dominios.

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Mezclando Ingredientes

Las funciones son como números. Puedes sumarlas, restarlas, multiplicarlas y dividirlas. La regla de oro es: Operamos las yy, pero mantenemos la xx.

Definición:Para calcular (f+g)(x)(f+g)(x), simplemente calculas f(x)f(x), calculas g(x)g(x) y sumas los resultados.

La Licuadora de Funciones

f(x)=0.5x+1f(x) = 0.5x + 1 (Línea) y g(x)=2sin⁡(x)g(x) = 2\sin(x) (Onda). Observa qué pasa con la altura resultante (negra).

Nota cómo la onda 'se monta' sobre la pendiente de la línea.

Concepto Clave

"Visualmente, (f+g)(x) significa poner la gráfica de g encima de la gráfica de f. Es una suma de alturas."

Las Cuatro Operaciones

La notación puede parecer intimidante, pero es solo una forma corta de escribir instrucciones aritméticas.

Suma y Resta
(f±g)(x)=f(x)±g(x)(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)
Producto y Cociente
(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)
(fg)(x)=f(x)g(x),g(x)≠0\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, \quad g(x) \neq 0

Ejercicios de Cálculo

Práctica

Si f(x)=x−5f(x) = x - 5 y g(x)=x2g(x) = x^2, encuentra (fcdotg)(3)(f cdot g)(3).

Ver Solución

1. Calculamos f(3)=3−5=−2f(3) = 3 - 5 = -2.

2. Calculamos g(3)=32=9g(3) = 3^2 = 9.

3. Multiplicamos: −2cdot9=−18-2 cdot 9 = -18.

Tipo PISA

Una fábrica tiene una función de Ingresos I(x)I(x) por vender xx zapatos, y una función de Costos C(x)C(x) por producirlos. ¿Qué significa si (I−C)(100)<0(I - C)(100) < 0?

Ver Solución

La función G(x)=(I−C)(x)G(x) = (I-C)(x) representa la Ganancia.

Si el resultado es menor que cero (negativo) al vender 100 zapatos, significa que la fábrica está perdiendo dinero; los costos superan a los ingresos.

La Trampa del Dominio

Aquí es donde la mayoría falla. Para que (f+g)(x)(f+g)(x) exista, TANTAS f(x)f(x) COMO g(x)g(x) deben existir.

Regla de Oro

El dominio de la combinación es la INTERSECCIÓN (∩\cap) de los dominios individuales.

Df+g=Df∩DgD_{f+g} = D_f \cap D_g

Excepción: Si divides, además debes quitar los puntos donde el denominador se hace cero.

Ejercicios de Dominio

Práctica

Calcula el dominio de h(x)=x+5−xh(x) = \sqrt{x} + \sqrt{5-x}.

Ver Solución
  • Para x\sqrt{x}, necesitamos x≥0x \geq 0.
  • Para 5−x\sqrt{5-x}, necesitamos 5−x≥05-x \geq 0 (o sea, x≤5x \leq 5).
  • La intersección es donde ambas son verdad: [0,5][0, 5].
Tipo PISA

La máquina A funciona solo de 8am a 2pm. La máquina B funciona solo de 12pm a 6pm. Si la producción total es P(t)=A(t)+B(t)P(t) = A(t) + B(t), ¿en qué horario existe producción total combinada?

Ver Solución

Solo de 12pm a 2pm.

Matemáticamente, es la intersección de los intervalos de tiempo [8,14]∩[12,18]=[12,14][8, 14] \cap [12, 18] = [12, 14]. Fuera de esas horas, una de las máquinas está apagada (su función no está definida o es cero, dependiendo del modelo, pero aquí asumimos dominio de operación).

Concepto Clave

"Piensa en el dominio intersección como 'horarios compatibles'. Si tu amigo puede salir el sábado y tú el domingo, no pueden salir juntos (Intersección vacía)."