No reinventes la rueda
Imagina que tienes una foto en tu celular. Si quieres moverla a la derecha, no tomas la foto de nuevo; simplemente la deslizas.
En Cálculo hacemos lo mismo. Si conocemos la gráfica de x2 (la lección anterior), podemos graficar (x−4)2+3 en segundos sin hacer ninguna tabla de valores, solo entendiendo cómo transformar la original.
Laboratorio de Transformaciones
Compara la función original (gris) con la transformada (color).
Suma afuera: Movimiento Vertical.
Concepto Clave
"Toca los botones del 'Laboratorio' arriba. Nota cómo un pequeño cambio en la fórmula mueve toda la estructura rígidamente."
Desplazamientos: Arriba, Abajo y la Trampa Lateral
f(x)+c (Vertical)
Es intuitivo. Lo que sumas afuera de la función afecta a la y directamente.
- x2+1: Sube 1 unidad.
- x2−5: Baja 5 unidades.
f(x−c) (Horizontal)
¡Es contraintuitivo!
Lo que sumas/restas adentro del paréntesis mueve al revés de lo que esperas.
- (x−3)2: Mueve a la DERECHA 3.
- (x+2)2: Mueve a la IZQUIERDA 2.
Ejercicios de Desplazamiento
Sin graficar, describe cómo moverías la gráfica de f(x)=∣x∣ para obtener g(x)=∣x+4∣−2.
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1. El ∣x+4∣ (adentro) mueve 4 unidades a la izquierda.
2. El −2 (afuera) mueve 2 unidades hacia abajo.
Un ingeniero modela la temperatura de un motor con T(t). Si decide encender el motor 2 horas más tarde, ¿cuál es la nueva fórmula?
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La respuesta es T(t−2).
Al retrasar el evento, movemos la gráfica a la derecha en el eje del tiempo. Si antes el pico era en t=5, ahora queremos que sea en t=7. Nota que 7−2=5, recuperando el valor original.
Deformaciones: Espejos y Elásticos
Ya sabemos mover la gráfica. Ahora vamos a cambiar su forma.
Reflejo Vertical: −f(x)
Un signo negativo frente a toda la función voltea la gráfica respecto al eje X. Lo positivo se vuelve negativo.
Ejemplo: −x2 es una parábola triste (hacia abajo).
Estiramiento Vertical: c⋅f(x)
Multiplicar por un número mayor a 1 (ej. 3x2) hace que la función crezca más rápido. Se ve más alta y delgada.
Si multiplicas por un número pequeño (ej. 0.5x2), se aplasta.
Ejercicios de Deformación
Si la función f(x) pasa por el punto (2,10), ¿por qué punto pasa obligatoriamente la función g(x)=−3f(x)?
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El punto es (2,−30).
La x no cambia. La y (que valía 10) se multiplica por -3.
Un puente colgante tiene la forma de y=x2. Los ingenieros necesitan construir un modelo a escala donde el puente sea el doble de ancho pero mantenga la misma altura. ¿Qué transformación necesitan?
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Necesitan un estiramiento horizontal: f(0.5x) o y=(x/2)2.
Recuerda que las transformaciones horizontales son al revés. Dividir la x por 2 hace que necesites el doble de x para llegar a la misma altura, ensanchando la curva.
Concepto Clave
"Orden de operaciones: Generalmente primero aplica los desplazamientos horizontales, luego estiramientos/reflejos, y al final desplazamientos verticales."