La misma curva, movida
Esa fórmula no es una curva nueva: es la gráfica de Q1, estirada y subida. Si conoces unas pocas funciones básicas y cuatro movimientos (subir, correr, voltear y estirar), lees fórmulas así de un vistazo, sin hacer una tabla de valores.
Primero mira el movimiento con una parábola. Después lo ponemos en palabras.
Momento animado
De y = x² a y = 2(x − 3)² − 1, sin tabla
- y=x2
- y = x²
a = 1 estira
h = 0 corre
k = 0 sube
Etapa 1 de 5 · La básica
Concepto Clave
"Lo que va afuera de f mueve la gráfica en vertical y hace lo que dice. Lo que va adentro, junto a la x, la mueve en horizontal y va al revés: f(x − 3) corre a la derecha."
Desplazamientos: arriba, abajo y la trampa lateral
f(x)+c (Vertical)
Es intuitivo. Lo que sumas afuera de la función afecta a la y directamente.
- x2+1: Sube 1 unidad.
- x2−5: Baja 5 unidades.
f(x−c) (Horizontal)
¡Es contraintuitivo!
Lo que sumas/restas adentro del paréntesis mueve al revés de lo que esperas.
- (x−3)2: Mueve a la DERECHA 3.
- (x+2)2: Mueve a la IZQUIERDA 2.
Ejercicios: Desplazamientos Rígidos
Sin graficar, ¿qué combinación de desplazamientos transforma la gráfica de f(x)=∣x∣ en g(x)=∣x+4∣−2?
Un ingeniero modela la temperatura de un motor mediante T(t). Si decide encender el motor 2 horas más tarde, ¿cuál es la nueva función?
Deformaciones: espejos y elásticos
Ya sabemos mover la gráfica. Ahora vamos a cambiar su forma.
Reflejo Vertical: −f(x)
Un signo negativo frente a toda la función voltea la gráfica respecto al eje X. Lo positivo se vuelve negativo.
Ejemplo: −x2 es una parábola que abre hacia abajo.
Estiramiento Vertical: c⋅f(x)
Multiplicar por un número mayor a 1 (ej. 3x2) hace que la función crezca más rápido. Se ve más alta y delgada.
Si multiplicas por un número pequeño (ej. 0,5x2), se aplasta.
Ejercicios: Deformación y Escalamiento
Si la función f(x) pasa por el punto (2,10), ¿por qué punto pasa obligatoriamente g(x)=−3f(x)?
Un puente parabólico sigue la ecuación y=x2. Si se requiere rediseñarlo para que sea el doble de ancho manteniendo la misma altura, ¿cuál es la ecuación?
Concepto Clave
"Con varias a la vez, el punto (x, y) de f pasa a (x + h, a·y + k) en y = a·f(x − h) + k. Primero se estira y después se sube: al revés, el resultado cambia."
Paso a paso: una raíz volteada
Grafica y=−x+4+2 a partir de y=x, y da su dominio y su rango. Sigue dos puntos de x: el inicial, (0,0), y (4,2).
- 1
Lee la fórmula de adentro hacia afuera
Adentro de la raíz está x + 4. Afuera hay un signo menos y un + 2.x→x+4→−x+4→−x+4+2 - 2
Adentro, + 4: se corre 4 a la izquierda
La raíz empieza donde x + 4 = 0, en x = −4. Los puntos pasan a (−4, 0) y (0, 2). - 3
El menos de afuera la refleja respecto al eje x
Cada altura cambia de signo: (−4, 0) se queda y (0, 2) pasa a (0, −2). Ahora la gráfica baja hacia la derecha. - 4
El + 2 de afuera la sube 2
Los puntos llegan a (−4, 2) y (0, 0). Comprueba en la fórmula: −√(0 + 4) + 2 = −2 + 2 = 0. - 5
Dominio y rango
La raíz pide x + 4 ≥ 0: el dominio es [−4, ∞). La raíz vale 0 o más; con el menos, 0 o menos; con el + 2, 2 o menos: el rango es (−∞, 2].Dom=[−4,∞)Rango=(−∞,2]
Ejemplo de la sección 10.6 de «Matemáticas para un mundo sostenible». Compruébalo en el laboratorio: escoge y=x y pon a=−1, h=−4 y k=2.
Laboratorio
Mueve a, h y k
Escoge una función básica y cambia los tres números. La línea punteada es la básica; la azul, la transformada.
- y=x2
- y = 2(x − 3)² − 1
El punto (1, 1) de la básica pasa a (4, 1): (x + h, a·y + k).
La básica se estira por 2, se corre 3 a la derecha y baja 1.
Practica: puntos, raíces y costos
El punto (2,5) está en la gráfica de y=f(x). ¿Qué punto está, con seguridad, en la gráfica de y=f(2x)?
¿Cuál es la ecuación de y=x corrida 3 unidades a la izquierda y 2 hacia abajo, y cuál es su dominio?
La CRA fija el costo máximo por tonelada de un relleno sanitario con C(Q)=18722+Q132924379, en pesos, donde Q son las toneladas que recibe al mes. ¿Qué transformaciones de C=Q1 dan esa gráfica?