6. Gráficas de Funciones Básicas

Las piezas de LEGO con las que construiremos todo el Cálculo.

Estudiar en la plataforma interactiva

El Alfabeto del Cálculo

Igual que necesitas conocer las letras para leer, necesitas reconocer estas 5 gráficas instantáneamente. Úsalas como bloques de construcción. Si sabes cómo se ve x2x^2, sabrás cómo se ve x2+1x^2 + 1 sin hacer tablas.

Visualizador: Cuadrática

La Parábola (U). Simétrica respecto al eje Y (Función Par).

f(x)=x2f(x) = x^2

Concepto Clave

"Explora cada pestaña arriba. Fíjate especialmente en qué pasa cerca del cero y hacia dónde van las flechas en los extremos."

Potencias: La U y la S

La Cuadrática (Par)

  • Forma: Parábola "U".
  • Simetría: Eje Y. Lo de la izquierda es espejo de la derecha.
  • Clave: Siempre positiva (o cero).

La Cúbica (Impar)

  • Forma: Silla "S".
  • Simetría: Origen. Si giras la gráfica 180°, se ve igual.
  • Clave: Crece rapidísimo.

Ejercicios de Potencias

Ejercicio 1.1

Si f(x)=x2f(x) = x^2 y f(2)=4f(2) = 4, ¿cuánto vale f(−2)f(-2)?

Ver Solución
Como es una función par (simétrica), f(−2)=f(2)f(-2) = f(2).
Resultado: 44.

Ejercicio 1.2

¿En qué cuadrantes vive la gráfica de y=x3y = x^3?

Ver Solución
Cuadrante I (+,+) y Cuadrante III (-,-). Positivo por positivo es positivo; negativo al cubo es negativo.

Los Problemáticos: 1/x y √x

Estas funciones introducen los conceptos de Asíntota y Dominio Restringido.

La Recíproca (1/x)

Nunca toca los ejes. Los ejes son como "cercas eléctricas".

  • Cuando xx es gigante, yy es casi cero.
  • Cuando xx es casi cero, yy explota hacia el infinito.

La Raíz Cuadrada (√x)

Es una "media parábola" acostada. Empieza en (0,0)(0,0) y crece lenta pero segura. No existe a la izquierda del eje Y.

Ejercicios de Restricciones

Ejercicio 2.1

¿Por qué la gráfica de f(x)=xf(x) = \sqrt{x} no tiene parte izquierda?

Ver Solución
Porque no existen raíces cuadradas reales de números negativos. Su dominio es [0,∞)[0, \infty).

Ejercicio 2.2

Para f(x)=1/xf(x)=1/x, ¿qué pasa si intentas calcular f(0.0001)f(0.0001)?

Ver Solución
1/0.0001=10,0001 / 0.0001 = 10,000.
Al dividir por algo muy pequeño, obtienes algo muy grande. Por eso la gráfica se dispara hacia arriba.

El Valor Absoluto: La Esquina

f(x)=∣x∣f(x) = |x| convierte todo en positivo. Su gráfica es una "V" perfecta.

⚠️ ¡Ojo con la esquina!
En x=0x=0, la gráfica tiene un pico o esquina afilada. Más adelante aprenderás que en las esquinas afiladas no existe la derivada (no puedes trazar una única tangente).

Ejercicios de Valor Absoluto

Ejercicio 3.1

Resuelve gráficamente: ¿Para qué valores de xx se cumple ∣x∣=3|x| = 3?

Ver Solución
Mira la gráfica "V". ¿Dónde está a una altura de 3?
En x=3x = 3 y en x=−3x = -3.

Ejercicio 3.2

¿Cuál es el Rango (valores de salida) de ∣x∣|x|?

Ver Solución
Como el valor absoluto nunca es negativo, el rango es [0,∞)[0, \infty). La "V" nunca baja del piso.

Concepto Clave

"El valor absoluto mide distancias. |x| es la distancia desde cero. Una distancia nunca puede ser negativa."