6. Gráficas de Funciones Básicas | Cálculo Diferencial

El Alfabeto del Cálculo

Momento animado

Una tabla no es una gráfica

Puntos de la tabla

Etapa 1 de 4 · Una tabla

Cuatro puntos de

y = \tfrac{1}{x}

:

(-2; -0{,}5)

,

(-1, -1)

,

(1, 1)

y

(2; 0{,}5)

. ¿Cómo es la curva que pasa por ellos?

Igual que necesitas conocer las letras para leer, necesitas reconocer estas 5 gráficas instantáneamente. Úsalas como bloques de construcción. Si sabes cómo se ve $x^2$ , sabrás cómo se ve $x^2 + 1$ sin hacer tablas.

Visualizador: Cuadrática

La Parábola (U). Simétrica respecto al eje Y (Función Par).

f(x) = x^2

Concepto Clave

"Explora cada pestaña arriba. Fíjate especialmente en qué pasa cerca del cero y hacia dónde van las flechas en los extremos."

Potencias: La U y la S

La Cuadrática (Par)

Forma: Parábola "U".
Simetría: Eje Y. Lo de la izquierda es espejo de la derecha.
Clave: Siempre positiva (o cero).

La Cúbica (Impar)

Forma: Silla "S".
Simetría: Origen. Si giras la gráfica 180°, se ve igual.
Clave: Crece rapidísimo.

Ejercicios: Funciones Potencia y Simetría

Ejercicio 1.1: Simetría Par Cuadrática

Si $f(x) = x^2$ y $f(2) = 4$ , ¿cuánto vale $f(-2)$ ?

Ejercicio 1.2: Distribución por Cuadrantes

¿En qué cuadrantes del plano cartesiano vive la gráfica de la función cúbica elemental $y = x^3$ ?

Los Problemáticos: 1/x y √x

Estas funciones introducen los conceptos de Asíntota y Dominio Restringido.

La Recíproca (1/x)

Nunca toca los ejes. Los ejes son como "cercas eléctricas".

Cuando $x$ es gigante, $y$ es casi cero.
Cuando $x$ es casi cero, $y$ explota hacia el infinito.

La Raíz Cuadrada (√x)

Es una "media parábola" acostada. Empieza en $(0,0)$ y crece lenta pero segura. No existe a la izquierda del eje Y.

Paso a paso: esbozar y = √x sin calculadora

1
¿Dónde existe?
La raíz cuadrada de un negativo no es un número real: el dominio es x ≥ 0.
$\text{Dom} = [0, \infty)$
2
Escoge entradas que den raíces exactas
Los cuadrados perfectos: 0, 1, 4 y 9.
$\begin{gathered} \sqrt{0} = 0, \quad \sqrt{1} = 1 \\ \sqrt{4} = 2, \quad \sqrt{9} = 3 \end{gathered}$
3
Mira cómo crece
Para subir de 0 a 1 basta avanzar 1; de 1 a 2 hay que avanzar 3, y de 2 a 3, 5. Crece cada vez más despacio, pero sin tope.
4
Une con una curva suave, no con rectas
Empieza en (0, 0), pasa por (1, 1), (4, 2) y (9, 3), y se va aplanando. Es la mitad de arriba de la parábola x = y² acostada.

Ejercicios: Restricciones y Asíntotas

Ejercicio 2.1: Dominio del Radical Principal

¿Por qué la gráfica de la función radical básica $f(x) = \sqrt{x}$ no tiene curva a la izquierda del eje vertical $Y$ ?

Ejercicio 2.2: Comportamiento Asintótico Recíproco

Para la función racional elemental $f(x) = \frac{1}{x}$ , ¿qué ocurre al evaluar en $x = 0{,}0001$ ?

El Valor Absoluto: La Esquina

$f(x) = |x|$ convierte todo en positivo. Su gráfica es una "V" perfecta.

¡Ojo con la esquina!
En $x=0$ , la gráfica tiene un pico o esquina afilada. Más adelante aprenderás que en las esquinas afiladas no existe la derivada (no puedes trazar una única tangente).

Ejercicios: Geometría del Valor Absoluto

Ejercicio 3.1: Intersección Gráfica en 'V'

Resuelve geométricamente: ¿Para qué valores reales de $x$ la gráfica de $f(x) = |x|$ se encuentra a una altura $y = 3$ ?

Ejercicio 3.2: Rango del Valor Absoluto

¿Cuál es el rango (conjunto de todas las salidas $y$ ) de la función $f(x) = |x|$ ?

Concepto Clave

"El valor absoluto mide distancias. |x| es la distancia desde cero. Una distancia nunca puede ser negativa."