5. Dominio y Rango | Cálculo Diferencial

Combustible y Destino

Situación real

¿Cuánto puede costar enterrar una tonelada de basura?

La CRA fija el costo máximo que se le reconoce a un relleno sanitario por cada tonelada de basura. La parte principal de su fórmula es $C(Q) = 18\,722 + \dfrac{132\,924\,379}{Q}$ pesos, donde $Q$ son las toneladas que recibe al mes.

¿Qué valores de $Q$ tienen sentido? No puede ser 0: la fracción dividiría entre cero, y un relleno que no recibe nada no tiene costo por tonelada. ¿Y qué costos pueden salir? Con 1.000 toneladas al mes sale a unos $151.646; con un millón, a unos $18.855. Por mucho que crezca $Q$ , el costo nunca baja de $18.722. Esas dos preguntas son el dominio y el rango.

Fuente: Comisión de Regulación de Agua Potable y Saneamiento Básico, Resolución CRA 720 de 2015, artículo 28 (pesos de diciembre de 2014), citada en el capítulo 10 de «Matemáticas para un mundo sostenible».

Momento animado

La sombra de una gráfica

Etapa 1 de 4 · La gráfica

Esta es

f(x) = \sqrt{9 - x^2}

: la mitad de arriba de una circunferencia de radio 3. ¿Qué entradas acepta y qué salidas da?

Volvamos a la analogía de la máquina. El Dominio es el tipo de combustible que el motor acepta. Si le echas el combustible incorrecto (un número prohibido), la máquina explota o se detiene.

El Rango (o Recorrido) es hasta dónde puede llegar la máquina con ese combustible.

Dominio (Entradas)

¿Qué valores de $x$ puedo usar?
Ej: "Todos los reales excepto el 0".

Rango (Salidas)

¿Qué valores de $y$ voy a obtener?
Ej: "Solo números positivos".

Ejercicios: Conceptos de Dominio y Rango

Ejercicio 1.1: Dominio en Conjuntos Discretos

Si una función está definida por los pares $\{(2,3), (4,5), (6,3)\}$ , ¿cuál es su dominio?

Ejercicio 1.2: Rango Cuadrático Real

Para la función $f(x) = x^2$ definida en todos los reales, ¿puede el rango contener al número $-5$ ?

Concepto Clave

"El dominio suele ser 'todos los reales', a menos que encuentres una restricción explícita."

Los Dos Pecados Matemáticos

En el conjunto de los números reales ( $\mathbb{R}$ ), hay dos operaciones que son ilegales. Si tu función las tiene, debes expulsar esos valores del dominio.

Laboratorio

Escáner de dominio

Mueve $x$ y mira si $f(x) = \sqrt{x - 2}$ tiene salida. Dentro de la raíz cuadrada no puede quedar un número negativo.

$f(x) = \sqrt{x - 2}$
Fuera del dominio: x < 2
Tu x

Entradax = 3

Lo de adentro, $x - 2$

1

Salida, $f(x)$

1,00

x = 3 está en el dominio (x ≥ 2): f(3) = √1 ≈ 1,00.

Paso a paso: los dos pecados a la vez

Encuentra el dominio y el rango de $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x - 2}}$ .

1
La raíz pide que lo de adentro no sea negativo
$x - 2 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \ge 2$
2
El denominador no puede ser 0
Con x = 2 queda √0 = 0 abajo, y no se puede dividir entre 0.
$\sqrt{x - 2} \ne 0 \quad\Rightarrow\quad x \ne 2$
3
Junta las dos condiciones
Mayor o igual que 2, pero sin el 2: mayor que 2.
$\text{Dom} = (2, \infty)$
4
Mira qué salidas aparecen
Prueba números: f(3) = 1, f(2,01) = 10 y f(102) = 0,1. Cerca de 2 la salida es enorme y lejos se acerca a 0, pero siempre es positiva.
$\text{Rango} = (0, \infty)$

1. División por Cero

Nunca puedes dividir entre cero. El denominador debe ser diferente de 0.

Ejemplo:

f(x) = \frac{1}{x - 3}

Restricción: $x - 3 \neq 0 \to x \neq 3$

2. Raíces Pares Negativas

No existe la raíz cuadrada (o cuarta, sexta...) de un número negativo en los reales.

Ejemplo:

g(x) = \sqrt{x - 5}

Restricción: $x - 5 \ge 0 \to x \ge 5$

Ejercicios: Restricciones de Dominio

Ejercicio 2.1: Dominio de Cociente Racional

Determina el dominio maximal de la función $h(t) = \frac{t}{t + 2}$ :

Ejercicio 2.2: Desigualdad con Radical Lineal

Halla el dominio en los números reales de la función $p(x) = \sqrt{3 - x}$ :

Concepto Clave

"Si ves una división, pregunta '¿cuándo es cero lo de abajo?'. Si ves una raíz, pregunta '¿cuándo es negativo lo de adentro?'."

Dominio Matemático vs. Físico

A veces, la fórmula permite un número, pero la realidad lo prohíbe. Esto es el Intervalo de Validez.

Ejemplo Médico: Arterias

La velocidad de la sangre $v$ en una arteria de radio $R$ depende de la distancia $r$ al centro:
$v(r) = C(R^2 - r^2)$

Matemáticamente: $v(r)$ es un polinomio, su dominio es todos los reales ( $-\infty < r < \infty$ ).
Físicamente: La distancia $r$ no puede ser negativa, y no puede ser mayor que el radio de la arteria $R$ .
Dominio Real: $[0, R]$ .

Ejercicios: Dominio Físico y Modelado

Ejercicio 3.1: Dominio Físico vs Matemático

Un tanque de 50 L se vacía en 20 minutos según el modelo $V(t) = 50(1 - t/20)^2$ . ¿Cuál es su dominio lógico de validez física?

Ejercicio 3.2: Significado de Variables Físicas

Para el área geométrica de un cuadrado $A(x) = x^2$ , ¿tiene sentido calcular $A(-3)$ ?

Concepto Clave

"En problemas de aplicación (física, economía), el tiempo, la distancia y la cantidad de objetos suelen ser positivos."