5. Dominio y Rango

Aprende a identificar dónde vive tu función y qué zonas están prohibidas.

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Combustible y Destino

Volvamos a la analogía de la máquina. El Dominio es el tipo de combustible que el motor acepta. Si le echas el combustible incorrecto (un número prohibido), la máquina explota o se detiene.

El Rango (o Recorrido) es hasta dónde puede llegar la máquina con ese combustible.

Dominio (Entradas)

¿Qué valores de xx puedo usar?
Ej: "Todos los reales excepto el 0".

Rango (Salidas)

¿Qué valores de yy voy a obtener?
Ej: "Solo números positivos".

Ejercicios Básicos

Ejercicio 1.1

Si definimos una función como el conjunto de pares: (2,3),(4,5),(6,3){(2,3), (4,5), (6,3)}.
¿Cuál es el dominio?

Ver Solución
El dominio son las primeras componentes (las entradas): 2,4,6{2, 4, 6}.

Ejercicio 1.2

Para f(x)=x2f(x) = x^2, ¿puede el Rango contener al -5?

Ver Solución
No. Un número real al cuadrado nunca es negativo. El rango es [0,∞)[0, \infty).

Concepto Clave

"El dominio suele ser 'todos los reales', a menos que encuentres una restricción explícita."

Los Dos Pecados Matemáticos

En el conjunto de los números reales (R\mathbb{R}), hay dos operaciones que son ilegales. Si tu función las tiene, debes expulsar esos valores del dominio.

Escáner de Dominio

Analizando f(x) = √(x - 2)

Entrada (x)
3
Salida f(x)
1.00

1. División por Cero

Nunca puedes dividir entre cero. El denominador debe ser diferente de 0.

Ejemplo:

f(x)=1x−3f(x) = \frac{1}{x - 3}

Restricción: x−3≠0→x≠3x - 3 \neq 0 \to x \neq 3

2. Raíces Pares Negativas

No existe la raíz cuadrada (o cuarta, sexta...) de un número negativo en los reales.

Ejemplo:

g(x)=x−5g(x) = \sqrt{x - 5}

Restricción: x−5≥0→x≥5x - 5 \ge 0 \to x \ge 5

Ejercicios de Cálculo

Ejercicio 2.1

Halla el dominio de h(t)=tt+2h(t) = \frac{t}{t+2}.

Ver Solución
El denominador no puede ser cero: t+2≠0t + 2 \neq 0.
Dominio: R−{−2}\mathbb{R} - \{-2\} o (−∞,−2)∪(−2,∞)(-\infty, -2) \cup (-2, \infty).

Ejercicio 2.2

Halla el dominio de p(x)=3−xp(x) = \sqrt{3 - x}.

Ver Solución
3−x≥03 - x \ge 0.
3≥x3 \ge x (o sea, x≤3x \le 3).
Dominio: (−∞,3](-\infty, 3].

Concepto Clave

"Si ves una división, pregunta '¿cuándo es cero lo de abajo?'. Si ves una raíz, pregunta '¿cuándo es negativo lo de adentro?'."

Dominio Matemático vs. Físico

A veces, la fórmula permite un número, pero la realidad lo prohíbe. Esto es el Intervalo de Validez.

Ejemplo Médico: Arterias

La velocidad de la sangre vv en una arteria de radio RR depende de la distancia rr al centro:
v(r)=C(R2−r2)v(r) = C(R^2 - r^2)

  • Matemáticamente: v(r)v(r) es un polinomio, su dominio es todos los reales (−∞<r<∞-\infty < r < \infty).
  • Físicamente: La distancia rr no puede ser negativa, y no puede ser mayor que el radio de la arteria RR.
    Dominio Real: [0,R][0, R].

Ejercicios de Contexto

Ejercicio 3.1

Un tanque se vacía en 20 min. El volumen es V(t)=50(1−t/20)2V(t) = 50(1 - t/20)^2.
¿Cuál es el dominio lógico?

Ver Solución
El tiempo empieza en t=0t=0 y termina cuando el tanque está vacío (t=20t=20).
Dominio: [0,20][0, 20].

Ejercicio 3.2

El área de un cuadrado es A(x)=x2A(x) = x^2. ¿Tiene sentido calcular A(−3)A(-3)?

Ver Solución
No. Aunque (−3)2=9(-3)^2 = 9, un cuadrado no puede tener lado negativo. El dominio físico es x>0x > 0.

Concepto Clave

"En problemas de aplicación (física, economía), el tiempo, la distancia y la cantidad de objetos suelen ser positivos."