4. Definición de Función | Cálculo Diferencial

La Máquina que Transforma

Imagina una función $f$ como una máquina expendedora perfecta. Tú le das una moneda (el input o entrada $x$ ) y ella te da un refresco (el output o salida $f(x)$ ).

Entrada (Input)

Variable Independiente

Dominio

⬇

Regla (Rule)

La Transformación

⬇

Salida (Output)

f(x)

Variable Dependiente

Rango

La Regla de Oro

Para que sea una función, cada entrada debe tener exactamente una salida.
Si pulsas el botón "A1" en la máquina y a veces sale Coca-Cola y otras veces sale Agua, la máquina está rota. No es una función.

f: A \to B

"f es una función de A en B"

Ejercicios de Concepto

Ejercicio 1.1

¿Es esto una función?
Entrada: Una persona. Salida: Su fecha de nacimiento exacta.

Ver Solución

SÍ. Cada persona tiene una única fecha de nacimiento. No puedes nacer en dos días distintos.

Ejercicio 1.2

¿Es esto una función?
Entrada: $x^2$ . Salida: $x$ .
(Ej: Input 4 $\to$ Output 2 y -2).

Ver Solución

NO. Si entra el 4, la salida podría ser 2 o -2. Como hay ambigüedad (dos salidas para una entrada), no es función.

Concepto Clave

"Recuerda: Una entrada puede ir a la misma salida (muchas personas pueden cumplir años hoy), pero una entrada NO puede ir a dos salidas distintas."

Dominio y Rango: El Territorio

No todas las máquinas aceptan cualquier material. Si pones piedras en una licuadora, se rompe. En matemáticas, llamamos a esto Dominio.

Dominio (Domain)

El conjunto de todos los valores de $x$ permitidos.

⚠️ Peligros comunes:

División por cero ( $x \neq 0$ ).
Raíces pares negativas ( $x \ge 0$ ).

Rango (Range)

El conjunto de todos los valores $f(x)$ resultantes posibles.

f(x) = x^2

nunca da negativos.
Rango:

[0, \infty)

Ejercicios de Dominio

Ejercicio 2.1

Halla el dominio de:
$f(x) = \frac{1}{x - 3}$

Ver Solución

El denominador no puede ser 0.

x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3

.
Dominio:

(-\infty, 3) \cup (3, \infty)

Ejercicio 2.2

Halla el dominio de:
$g(x) = \sqrt{x + 5}$

Ver Solución

Lo de adentro debe ser positivo o cero.

x + 5 \ge 0 \implies x \ge -5

.
Dominio:

[-5, \infty)

Concepto Clave

"Siempre mira los denominadores (no pueden ser 0) y las raíces pares (no pueden ser negativas) para encontrar el Dominio."

La Prueba de la Recta Vertical

¿Cómo sabemos si un dibujo en el plano es una función? Usamos la Prueba de la Recta Vertical. Si puedes dibujar cualquier línea vertical que cruce la gráfica en más de un punto, entonces NO es una función.

Es Función

Para x=1, corta 1 sola vez.

No es Función

Para x=1, corta 2 veces.

Mover Recta Vertical (x = 1)Test Visual

Desliza para ver cuántas veces la línea azul corta a la gráfica naranja. Si corta más de una vez, ¡la máquina se rompe! (No es función).

¿Por qué funciona?
Porque una línea vertical representa un valor fijo de

x

. Si la línea toca la gráfica dos veces, significa que para esa

x

hay dos alturas (

y

) diferentes. ¡Y eso está prohibido en una función!

Ejercicios Visuales

Ejercicio 3.1

Imagina la gráfica de un círculo perfecto centrado en $(0,0)$ . ¿Es una función de $x$ ?

Ver Solución

NO. Una recta vertical que pase por

x=0

corta arriba y abajo. Un círculo falla la prueba.

Ejercicio 3.2

Imagina una línea horizontal $y = 5$ . ¿Es una función?

Ver Solución

SÍ. Cualquier línea vertical que dibujes la cruzará exactamente una vez. (Es una función constante).

Concepto Clave

"Un círculo no es función. Una elipse tampoco. Pero medio círculo (el superior) SÍ es función."