4. Definición de Función | Cálculo Diferencial

La Máquina que Transforma

Una función es una regla que a cada entrada le asigna exactamente una salida. Míralo con una factura de agua.

Momento animado

Una entrada, una sola salida

Etapa 1 de 4 · Una entrada

Un acueducto de vereda cobra $12.000 fijos al mes más $3.500 por metro cúbico (tarifas hipotéticas):

f(x) = 12\,000 + 3\,500x

. Si una familia consume 5 m³, sube hasta su único valor a pagar: $29.500.

Imagina una función $f$ como una máquina expendedora perfecta. Tú le das una moneda (la entrada $x$ ) y ella te da una gaseosa (la salida $f(x)$ ).

Entrada

x

Variable Independiente

Dominio

⬇

Regla (Rule)

f

La Transformación

⬇

Salida

f(x)

Variable Dependiente

Rango

La Regla de Oro

Para que sea una función, cada entrada debe tener exactamente una salida.
Si pulsas el botón "A1" en la máquina y a veces sale Coca-Cola y otras veces sale Agua, la máquina está rota. No es una función.

f: A \to B

"f es una función de A en B"

Paso a paso: la factura del agua

Con la tarifa del acueducto, $f(x) = 12\,000 + 3\,500x$ pesos por $x$ metros cúbicos (ejemplo de la sección 2.1 del libro):

1
¿Cuánto paga una familia que consume 15 m³?
Se reemplaza la entrada en la fórmula.
$\begin{aligned} f(15) &= 12\,000 + 3\,500 \cdot 15 \\ &= 12\,000 + 52\,500 \\ &= 64\,500 \end{aligned}$
2
¿Cuánto consumió una familia que pagó $47.000?
Ahora se conoce la salida y se busca la entrada: se resuelve una ecuación.
$\begin{gathered} 12\,000 + 3\,500x = 47\,000 \\ 3\,500x = 35\,000 \\ x = 10 \end{gathered}$
3
¿Qué entradas tienen sentido?
El consumo no puede ser negativo: x ≥ 0. Un dominio razonable es [0, ∞), o [0, 60] si se sabe que ninguna familia de la vereda pasa de 60 m³.

Ejercicios: Concepto de Función

Ejercicio 1.1: Criterio Fundamental de Función

¿Es una función la relación donde la Entrada es una persona y la Salida es su fecha exacta de nacimiento?

Ejercicio 1.2: Ambigüedad y Unicidad

¿Es una función la relación cuya entrada es un número $u = x^2$ y cuya salida son todos los valores reales $x$ tales que $x^2 = u$ (ej. entrada 4 produce 2 y -2)?

Ejercicio 4.1 (tipo Saber 11): Leer al revés

Un taxi cobra un banderazo de $4.500 más $800 por cada kilómetro (tarifas hipotéticas), así que un recorrido de $d$ kilómetros cuesta $C(d) = 4\,500 + 800d$ . Si alguien pagó $20.500, ¿cuántos kilómetros recorrió?

Concepto Clave

"Recuerda: varias entradas pueden ir a la misma salida (muchas personas pueden cumplir años hoy), pero una entrada NO puede ir a dos salidas distintas."

Dominio y Rango: El Territorio

No todas las máquinas aceptan cualquier material. Si pones piedras en una licuadora, se rompe. En matemáticas, llamamos a esto Dominio.

Dominio (Domain)

El conjunto de todos los valores de $x$ permitidos.

Peligros comunes:

División por cero ( $x \neq 0$ ).
Raíces pares negativas ( $x \ge 0$ ).

Rango

El conjunto de todos los valores $f(x)$ resultantes posibles.

f(x) = x^2

nunca da negativos.
Rango:

[0, \infty)

.

Ejercicios: Restricciones de Dominio

Ejercicio 2.1: Dominio de Función Racional

Determina el dominio maximal de la función $f(x) = \frac{1}{x - 3}$ :

Ejercicio 2.2: Dominio con Raíz Cuadrada

Halla el dominio en los números reales de la función $g(x) = \sqrt{x + 5}$ :

Concepto Clave

"Siempre mira los denominadores (no pueden ser 0) y las raíces pares (no pueden ser negativas) para encontrar el Dominio."

La Prueba de la Recta Vertical

¿Cómo sabemos si un dibujo en el plano es una función? Usamos la Prueba de la Recta Vertical. Si puedes dibujar cualquier línea vertical que cruce la gráfica en más de un punto, entonces NO es una función.

Laboratorio

La prueba de la recta vertical

Mueve la recta vertical. Si alguna recta vertical corta una curva más de una vez, esa curva no es función de x.

De pie: $y = x^2 - 1$
Acostada: $x = y^2 - 1$
La recta vertical

Posición de la recta verticalx = 1

Cortes con la de pie

1 vez

Siempre 1: es función

Cortes con la acostada

2 veces

Alguna recta la corta 2 veces: no es función

La recta x = 1 corta la parábola de pie 1 vez y la acostada 2 veces: a x = 1 la acostada le asigna dos salidas, 1,41 y -1,41. Por eso la acostada no es función de x.

¿Por qué funciona?
Porque una línea vertical representa un valor fijo de

x

. Si la línea toca la gráfica dos veces, significa que para esa

x

hay dos alturas (

y

) diferentes. ¡Y eso está prohibido en una función!

Ejercicios: Inspección Gráfica

Ejercicio 3.1: Prueba de la Recta Vertical

¿Es la gráfica de una circunferencia completa $x^2 + y^2 = r^2$ una función $y = f(x)$ ?

Ejercicio 3.2: Función Constante

Imagina una línea horizontal en el plano cartesiano con ecuación $y = 5$ . ¿Es una función de $x$ ?

Concepto Clave

"Un círculo no es función. Una elipse tampoco. Pero medio círculo (el superior) SÍ es función."