3. Geometría Analítica Básica

Dominando la distancia, la pendiente y, sobre todo, la ecuación punto-pendiente.

Estudiar en la plataforma interactiva

El Plano como Mapa

Antes de analizar funciones complejas, debemos dominar el espacio donde viven. René Descartes nos dio el sistema de coordenadas (x,y)(x, y), permitiendo traducir formas geométricas a números.

Geometría de la Distancia

La distancia (azul sólido) es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

La distancia entre dos puntos no es más que el Teorema de Pitágoras. Observa la gráfica: la distancia directa (hipotenusa azul) conecta los puntos, mientras que las líneas punteadas son los catetos (diferencia en x e y).

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
El Punto Medio

Es simplemente el promedio de las coordenadas.
M=(x1+x22,y1+y22)M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)

Ejercicios de Espacio

Ejercicio 1.1

Calcula la distancia entre (−1,4)(-1, 4) y (2,0)(2, 0).

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Δx=2−(−1)=3\Delta x = 2 - (-1) = 3.
Δy=0−4=−4\Delta y = 0 - 4 = -4.
d=32+(−4)2=9+16=5d = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5.

Ejercicio 1.2

Si el punto medio es (2,3)(2, 3) y un extremo es (0,0)(0, 0), halla el otro.

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Sea (x,y)(x, y) el extremo.
x/2=2→x=4x/2 = 2 \to x=4.
y/2=3→y=6y/2 = 3 \to y=6. Punto: (4,6)(4, 6).

Concepto Clave

"La distancia es siempre positiva (o cero). Es la magnitud del vector que une dos puntos."

La Pendiente: El Corazón del Cálculo

El cálculo diferencial estudia el cambio instantáneo. En una línea recta, ese cambio es constante y se llama Pendiente (mm). Usa el laboratorio interactivo abajo para sentir cómo el signo afecta la dirección.

Laboratorio de Pendiente

Visualizando y = 1x

Pendiente (m): 1Creciente (+)
m=ΔyΔx=y2−y1x2−x1m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Pendiente Positiva / Negativa

Si m>0m > 0, la función crece.
Si m<0m < 0, la función decrece.

Casos Límite

m=0m = 0: Recta Horizontal (piso).
m=indefm = \text{indef}: Recta Vertical (pared).

Ejercicios de Pendiente

Ejercicio 2.1

Calcula la pendiente entre (2,5)(2, 5) y (4,1)(4, 1).

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m=(1−5)/(4−2)=−4/2=−2m = (1 - 5)/(4 - 2) = -4/2 = -2.
(Decreciente).

Ejercicio 2.2

¿Por qué la pendiente de x=3x=3 es indefinida?

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Porque Δx=0\Delta x = 0. La división por cero no está definida en los reales.

Concepto Clave

"Visualiza la derivada como el 'zoom' infinito en una curva hasta que se ve como una de estas rectas con pendiente m."

La Herramienta Maestra: Punto-Pendiente

Olvídate un poco de y=mx+by = mx + b. En Cálculo, la forma reina es la Punto-Pendiente.

¿Por qué? Porque la derivada nos da la pendiente (mm) en un punto específico (x1,y1x_1, y_1). Casi nunca sabemos el intercepto bb de antemano.

y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)

Esta es la ecuación que usarás para escribir la "Recta Tangente" una y otra vez.

Relación entre Rectas
  • Paralelas: Tienen la misma inclinación (m1=m2m_1 = m_2).
  • Perpendiculares: Sus pendientes son opuestas e inversas (m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1).
    Ej: Si m=2m=2, la perpendicular es m=−1/2m=-1/2.

Ejercicios de Ecuaciones

Ejercicio 3.1

Halla la ecuación de la recta que pasa por (1,−2)(1, -2) con pendiente m=3m = 3.

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Sustituimos directamente:
y−(−2)=3(x−1)y - (-2) = 3(x - 1)
y+2=3(x−1)y + 2 = 3(x - 1).

Ejercicio 3.2 (Reto)

Halla la recta que pasa por (2,3)(2, 3) y es perpendicular a y=2x+1y = 2x + 1.

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1. Pendiente original m=2m=2.
2. Pendiente perpendicular m⊥=−1/2m_{\perp} = -1/2.
3. Ecuación: y−3=−12(x−2)y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 2).

Concepto Clave

"Acostúmbrate a dejar las ecuaciones en la forma Punto-Pendiente. Es matemáticamente correcta y ahorra tiempo."