3. Geometría Analítica Básica | Cálculo Diferencial

El Plano como Mapa

Momento animado

La ciclorruta más corta

Etapa 1 de 4 · Dos puntos

En un plano donde cada unidad es un kilómetro, la plaza está en

A(-2, 1)

y el colegio en

B(4, 9)

(plano hipotético). ¿Cuánto mediría una ciclorruta recta entre los dos?

Antes de analizar funciones complejas, debemos dominar el espacio donde viven. René Descartes nos dio el sistema de coordenadas $(x, y)$ , permitiendo traducir formas geométricas a números.

Geometría de la Distancia

La distancia (azul sólido) es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

La distancia entre dos puntos no es más que el Teorema de Pitágoras. Observa la gráfica: la distancia directa (hipotenusa azul) conecta los puntos, mientras que las líneas punteadas son los catetos (diferencia en x e y).

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

El Punto Medio

Es simplemente el promedio de las coordenadas.
$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$

Paso a paso: distancia y punto medio

Encuentra la distancia entre $P(1, -3)$ y $Q(-5, 5)$ , y el punto medio del segmento $PQ$ .

1
El avance horizontal
Se resta en el mismo orden en los dos ejes: el de llegada menos el de salida.
$x_2 - x_1 = -5 - 1 = -6$
2
El avance vertical
Restar un negativo es sumar: 5 − (−3) = 8.
$y_2 - y_1 = 5 - (-3) = 8$
3
Pitágoras
Al elevar al cuadrado, el signo del −6 no importa: es una longitud.
$\begin{aligned} d &= \sqrt{(-6)^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \end{aligned}$
4
El punto medio: el promedio de cada coordenada
$\begin{aligned} M &= \left(\frac{1 + (-5)}{2}, \frac{-3 + 5}{2}\right) \\ &= (-2, 1) \end{aligned}$

Ejercicios: Espacio y Distancia en ℝ²

Ejercicio 1.1: Distancia Euclídea en ℝ²

Calcula la distancia métrica entre los puntos $(-1, 4)$ y $(2, 0)$ :

Ejercicio 1.2: Determinación de Extremos

Si el punto medio es $(2, 3)$ y un extremo es el origen $(0, 0)$ , halla el otro extremo:

Concepto Clave

"La distancia es siempre positiva (o cero). Es la magnitud del vector que une dos puntos."

La Pendiente: El Corazón del Cálculo

El cálculo diferencial estudia el cambio instantáneo. En una línea recta, ese cambio es constante y se llama Pendiente ( $m$ ). Usa el laboratorio interactivo abajo para sentir cómo el signo afecta la dirección.

Laboratorio

Laboratorio de pendiente

Mueve $m$ . El triángulo muestra la pendiente: avanza 1 a la derecha y sube (o baja) $m$ .

$y = x$
Avanza 1
Sube 1

Pendiente,

m

m = 1

m = 1 > 0: por cada paso de 1 a la derecha, la recta sube 1. Es creciente.

m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Pendiente Positiva / Negativa

Si $m > 0$ , la función crece.
Si $m < 0$ , la función decrece.

Casos Límite

$m = 0$ : Recta Horizontal (piso).
$m = \text{indef}$ : Recta Vertical (pared).

Ejercicios: Comportamiento de la Pendiente

Ejercicio 2.1: Razón de Cambio Constante

Calcula la pendiente $m$ de la recta secante que une $(2, 5)$ y $(4, 1)$ :

Ejercicio 2.2: Naturaleza de Rectas Verticales

¿Por qué la pendiente de la recta vertical $x = 3$ es indefinida?

Concepto Clave

"Visualiza la derivada como el 'zoom' infinito en una curva hasta que se ve como una de estas rectas con pendiente m."

La Herramienta Maestra: Punto-Pendiente

Olvídate un poco de $y = mx + b$ . En Cálculo, la forma reina es la Punto-Pendiente.

¿Por qué? Porque la derivada nos da la pendiente ( $m$ ) en un punto específico ( $x_1, y_1$ ). Casi nunca sabemos el intercepto $b$ de antemano.

y - y_1 = m(x - x_1)

Esta es la ecuación que usarás para escribir la "Recta Tangente" una y otra vez.

Relación entre Rectas

Paralelas: Tienen la misma inclinación ( $m_1 = m_2$ ).
Perpendiculares: Sus pendientes son opuestas e inversas ( $m_1 \cdot m_2 = -1$ ).
Ej: Si $m=2$ , la perpendicular es $m=-1/2$ .

Ejercicios: Ecuaciones de la Recta

Ejercicio 3.1: Forma Punto-Pendiente

Halla la ecuación de la recta que pasa por $(1, -2)$ con pendiente $m = 3$ :

Ejercicio 3.2 (Reto): Rectas Perpendiculares

Halla la recta que pasa por $(2, 3)$ y es perpendicular a la recta $y = 2x + 1$ :

Concepto Clave

"Acostúmbrate a dejar las ecuaciones en la forma Punto-Pendiente. Es matemáticamente correcta y ahorra tiempo."