2. Valor Absoluto y Distancia | Cálculo Diferencial

El Odómetro Matemático

Imagina el tablero de un automóvil. El velocímetro puede moverse a la izquierda o derecha (si fuera digital indicando marcha atrás), pero el odómetro (que cuenta los kilómetros recorridos) siempre suma, nunca resta.

El valor absoluto hace exactamente eso: descarta la "dirección" (el signo) y se queda solo con la "magnitud" (cuánto nos hemos desplazado desde el cero).

Definición Formal por Casos

Matemáticamente, no decimos "quita el menos". Lo definimos como una función a trozos:

|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

Ojo con el segundo caso: Si

x

es negativo (ej. -5), entonces

-x

significa

-(-5) = 5

. ¡El resultado final siempre es positivo!

Ejercicios de Concepto

Ejercicio 1.1

Evalúa la expresión: $| -3 - |5 - 8| |$

Ver Solución

Interior: $5 - 8 = -3$ .
Valor absoluto interno: $|-3| = 3$ .
Sustituimos: $| -3 - 3 | = | -6 |$ .
Resultado final: 6.

Ejercicio 1.2

¿Es verdadera la afirmación $|x| = -x$ para algún número real?

Ver Solución

Sí. Esto es verdadero para todos los números negativos y el cero (

x \le 0

). Por ejemplo, si

x = -2

, entonces

|-2| = 2

, que es lo mismo que

-(-2)

.

Concepto Clave

"El valor absoluto no solo 'hace positivos los números', mide su magnitud desde el origen."

La Geometría de la Distancia

En cálculo, rara vez nos importa la distancia al cero. Nos importa cuán lejos está una cosa de otra (ej. cuán lejos está una aproximación del valor real).

La distancia entre dos puntos cualesquiera $a$ y $b$ en la recta real se define como:

d(a, b) = |b - a|

Simetría

La distancia de A a B es la misma que de B a A. Algebraicamente:
$|a - b| = |b - a|$

La Trampa de la Raíz

Ten cuidado al simplificar raíces. $\sqrt{x^2}$ NO es siempre $x$ .
Es $|x|$ .
(Prueba con x = -3: $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ , no -3).

Ejercicios de Distancia

Ejercicio 2.1

Calcula la distancia entre los números $-5$ y $3$ .

Ver Solución

Aplicamos la fórmula:

d(-5, 3) = |3 - (-5)|

.

= |3 + 5| = |8| = 8

.
(Nota: al revés da lo mismo

|-5 - 3| = |-8| = 8

).

Ejercicio 2.2

Describe geométricamente el conjunto de puntos $x$ que cumplen $|x - 2| = 0$ .

Ver Solución

Significa que la distancia entre

x

y 2 es cero. La única forma de que la distancia sea cero es que estemos en el mismo punto. Por tanto,

x = 2

.

Concepto Clave

"La expresión |x - a| se lee como 'la distancia entre x y a'."

Entornos y Desigualdades

Este es el corazón conceptual del Cálculo de Límites. Cuando decimos "acércate a 5", estamos hablando de un intervalo muy pequeño alrededor de 5.

Una desigualdad con valor absoluto define un intervalo centrado en un punto:

La Regla del Sándwich

|x| < c

Distancia menor que c

-c < x < c

x está entre -c y c

Generalizando: $|x - a| < d$ significa que $x$ pertenece al intervalo $(a-d, a+d)$ .

Ejemplo: Resolviendo |2x - 5| < 3

1

1. Desplegamos la desigualdad compuesta.

-3 < 2x - 5 < 3

2

2. Sumamos 5 a todas las partes para aislar el término con x.

2 < 2x < 8

3

3. Dividimos todo por 2.

1 < x < 4

4

4. Expresamos la solución como intervalo.

x \in (1, 4)

Ejercicios de Entornos

Ejercicio 3.1

Resuelve la desigualdad: $|x - 4| \le 1$

Ver Solución

1. Escribimos la cadena:

-1 \le x - 4 \le 1

.
2. Sumamos 4 a todo:

3 \le x \le 5

.
3. Intervalo:

[3, 5]

.

Ejercicio 3.2 (Interpretación)

Traduce a notación de valor absoluto: "La distancia entre x y 7 es mayor que 2".

Ver Solución

|x - 7| > 2

. Esto implica que

x

está fuera del entorno cercano a 7.

Concepto Clave

"En límites, |x-a| < delta es la herramienta formal para decir 'x está infinitamente cerca de a'."