17. Taller de Modelado | Cálculo Diferencial

El Mapa no es el Territorio

El cálculo es una herramienta poderosa, pero inútil si no sabemos qué calcular. El modelado matemático es el arte de traducir la complejidad del mundo real al lenguaje limpio y lógico de las matemáticas.

Momento animado

¿Cómo crece el CO₂?

Datos de la NOAA

Etapa 1 de 5 · Los datos

El promedio anual de CO₂ en Mauna Loa, cada cinco años, de 1960 a 2025 (NOAA). La línea punteada son las 280 ppm de antes de la Revolución Industrial.

La Analogía del Mapa

Imagina que dibujas un mapa. No puedes dibujar cada árbol o piedra (eso sería la realidad completa). Debes simplificar (suposiciones), identificar las rutas principales (variables) y medir las distancias (fórmulas). Si el mapa te lleva a un precipicio, debes corregirlo (validación).

El Algoritmo de Modelado

Identificar Variables

Dibuja un diagrama. Asigna letras ( $x, h, r$ ) a las cantidades que cambian. Distingue entre variables (lo que cambia) y parámetros (lo que es fijo).

Suposiciones

Simplifica la realidad. "Asumiremos que la pared es perfectamente recta", "Ignoraremos el grosor del material". Sin esto, el problema es imposible.

Formulación

Traduce frases a ecuaciones. Busca restricciones (ej. "el alambre mide 100m") para eliminar variables y dejar todo en función de una sola (ej. $A(x)$ ).

Validación

¿Tiene sentido la respuesta? Si obtienes una distancia negativa o un volumen infinito, revisa tus suposiciones o tu álgebra.

Paso a paso: un modelo para el CO₂

Con los datos de la NOAA, construye un modelo y ponlo a prueba (preguntas 3 y 4 del taller de la sección 11.10 del libro).

1
Identifica las variables
La entrada es t, los años desde 1960; la salida, el CO₂ en ppm. Lo que agregamos los humanos es el exceso sobre las 280 ppm de antes de la Revolución Industrial.
$E = C - 280$
2
Usa dos datos
En 1960, C = 316,91; en 2020, C = 414,21.
$\begin{gathered} E(0) = 36{,}91 \\ E(60) = 134{,}21 \end{gathered}$
3
Supón un crecimiento exponencial y halla el factor
Si E(t) = 36,91 · bᵗ, entonces b⁶⁰ = 134,21 ÷ 36,91.
$b = \left(\frac{134{,}21}{36{,}91}\right)^{1/60} \approx 1{,}0217$
4
Escribe el modelo
El exceso crece unos 2,2% al año.
$C(t) = 280 + 36{,}91 \cdot 1{,}0217^{\,t}$
5
Valídalo con un dato que no usaste
En 1990, t = 30. El dato real es 354,45: el error es de unas 4,1 ppm, alrededor de 1,1%.
$\begin{aligned} b^{30} &= \sqrt{\tfrac{134{,}21}{36{,}91}} \approx 1{,}907 \\ C(30) &\approx 280 + 36{,}91 \cdot 1{,}907 \\ &\approx 350{,}4 \end{aligned}$

Ejemplo Clásico: La Caja Óptima

Queremos hacer una caja sin tapa recortando cuadrados de las esquinas de un cartón.

1. Traducción

• Cartón original: $20 \times 20 \text{ cm}$
• Recortamos esquinas cuadradas de lado $x$ .
• Al doblar las pestañas, la base mide $20 - 2x$ .
• La altura de la caja resultante es $x$ .

2. Función Objetivo

$V = \text{Largo} \times \text{Ancho} \times \text{Alto}$

$V(x) = x(20 - 2x)^2 = 4x^3 - 80x^2 + 400x$

Dominio físico: $0 < x < 10$ (el corte no puede superar la mitad del lado)

Geometría del Corte

Si $x \to 0$ , la caja es plana y $V = 0$ . Si $x \to 10$ , el cartón desaparece y $V = 0$ . El máximo volumen ocurre en el interior mediante cálculo: $x = 10/3 \approx 3{,}33\text{ cm}$ .

Ejercicios de modelado

Ejercicio 1: El Cercado del Río (Restricción Perimetral)

Un granjero tiene 2.400 metros de cerca para delimitar un terreno rectangular adyacente a un río recto que no requiere cerca.

Si $x$ es la longitud de los dos lados perpendiculares al río, ¿cuál es la función de Área $A(x)$ en metros cuadrados?

Ejercicio 2 (tipo PISA): Diseño Industrial (Envase Cilíndrico Óptimo)

Una fábrica de bebidas diseña una lata cilíndrica de volumen fijo $V = 300\pi\text{ cm}^3$ . El área total de hojalata requerida es $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ .

Para minimizar el material empleado, modela la superficie total $S(r)$ en función exclusivamente del radio $r$ .

Ejercicio 3 (tipo Saber 11): ¿Sube lo mismo?

Según la NOAA, el CO₂ de Mauna Loa subió 3,13 ppm de 1960 a 1965 y 13,14 ppm de 2020 a 2025. ¿El crecimiento del CO₂ es lineal?

Ejercicio 4: La tasa del exceso

El exceso de CO₂ sobre 280 ppm era de 36,91 ppm en 1960 y de 134,21 ppm en 2020. Si crece como $E(t) = 36{,}91 \cdot b^{t}$ , con $t$ en años desde 1960, ¿a qué ritmo anual crece?

Ejercicio 5: Proyectar con cuidado

Con el modelo $C(t) = 280 + 36{,}91 \cdot 1{,}0217^{\,t}$ ( $t$ en años desde 1960), ¿hacia qué año llegaría el CO₂ a 450 ppm?