16. Funciones Logarítmicas | Cálculo Diferencial

Preguntarle al exponente

Un logaritmo es simplemente una pregunta: «¿A qué exponente debo elevar la base para obtener este número?». Es la operación inversa de la exponenciación, como la raíz cuadrada deshace el cuadrado.

y = \log_b(x) \iff b^y = x

Por ejemplo, $\log_2 32 = 5$ porque $2^5 = 32$ . Y como deshace a $2^x$ , su gráfica es la de $2^x$ vista en un espejo.

Momento animado

El logaritmo es la exponencial en el espejo

$y = 2^x$
$y = \log_2 x$
$y = x$

Etapa 1 de 5 · La exponencial

Esta es

y = 2^x

. Pasa por

(0, 1)

(1, 2)

(2, 4)

: cada paso a la derecha duplica la altura.

En Cálculo, casi siempre usamos la base $e$ . A esto le llamamos Logaritmo Natural y se escribe $\ln(x)$ .
$\ln(x) = y \iff e^y = x$

Concepto Clave

"El logaritmo en base b de x es el exponente al que hay que elevar b para obtener x. Su gráfica es la de bˣ reflejada en la recta y = x: lo que era horizontal se vuelve vertical."

Gráficas Inversas

Arrastra el punto azul sobre la curva exponencial.

f(x) = eˣg(x) = ln(x)

En la Exponencial:

Si x = 1,00, entonces y = 2,72

En el Logaritmo:

Si x = 2,72, entonces y = 1,00

¡Los valores se invierten!

Las Tres Leyes Mágicas

Los logaritmos tienen superpoderes algebraicos. Transforman operaciones difíciles (potencias, multiplicaciones) en operaciones fáciles (multiplicaciones, sumas). Esto será vital para derivar funciones complejas más adelante.

Ley del Producto

\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)

Multiplicación → Suma

Ley del Cociente

\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)

División → Resta

La Más Importante

\ln(a^n) = n \cdot \ln(a)

Baja el exponente al suelo.

Paso a paso: el tinto, con exactitud

En la lección 15, el tinto de Dayana se enfría según $T(t) = 20 + 65 \cdot 0{,}9^{t}$ (en °C, con $t$ en minutos). Con una tabla vimos que baja de 40 °C entre los minutos 11 y 12. Con logaritmos se encuentra el momento exacto. (Ejemplo de la sección 11.5 del libro.)

1
Plantea la ecuación
Se busca el t en que la temperatura vale 40 °C.
$20 + 65 \cdot 0{,}9^{t} = 40$
2
Deja sola la potencia
Resta 20 a los dos lados y divide entre 65.
$0{,}9^{t} = \frac{20}{65}$
3
Pregúntale al exponente
t es el exponente al que hay que elevar 0,9 para obtener 20/65. Con el cambio de base se calcula con la tecla ln.
$t = \log_{0{,}9} \frac{20}{65} = \frac{\ln(20/65)}{\ln 0{,}9}$
4
Calcula y comprueba
Los dos logaritmos son negativos y el cociente es positivo. Coincide con la tabla: entre los minutos 11 y 12.
$t \approx \frac{-1{,}1787}{-0{,}1054} \approx 11{,}2 \text{ minutos}$

Entrenamiento Logarítmico

Resolución de Ecuación Logarítmica con Trampa de Dominio

Resuelve para $x$ : $\log_2(x) + \log_2(x - 2) = 3$

Interpretación de la Escala Logarítmica de Richter

La magnitud $R$ se modela como $R = \log_{10}(I / I_0)$ . El terremoto de México de 1985 tuvo magnitud aproximada de $8{,}0$ , mientras que un sismo moderado mide $6{,}0$ . ¿Cuántas veces más intenso fue el terremoto de México comparado con el sismo moderado?

Expresa como un único logaritmo y resuelve:
$\log(x) + \log(5) = 2$
(Asume base 10)

Ver la explicación completa

1. Combinamos usando el producto: $\log(5x) = 2$

2. Aplicamos la definición (base 10): $5x = 10^2$

3. $5x = 100 \implies x = 20$

Ecuación Exponencial con Base Natural $e$

Halla el valor analítico exacto de $x$ en: $e^{2x} = 7$

Ejercicio 4 (tipo Saber 11): ¿Cuándo se duplica?

Si la capacidad de energía solar instalada creciera 25% cada año, ¿en cuánto tiempo se duplicaría?

Ejercicio 5: El dominio de un logaritmo

¿Cuál es el dominio de $f(x) = \log_2\left(9 - x^{2}\right)$ ?

Ejercicio 6: Una logarítmica trasladada

¿En qué punto corta el eje $x$ la gráfica de $y = \log_2(x + 1) - 3$ ?

El $pH$ se define como $pH = -\log_{10}[H^+]$ .
Si una solución tiene $[H^+] = 0{,}0001$ moles/litro, ¿cuál es su $pH$ ?

Ver la explicación completa

1. Notamos que $0{,}0001 = 10^{-4}$

2. Sustituimos: $pH = -\log_{10}(10^{-4})$

3. El exponente $-4$ sale multiplicando: $pH = -(-4) \cdot \log_{10}(10)$

4. Como $\log_{10}(10) = 1$ , la respuesta es $4$ .