15. Funciones Exponenciales | Cálculo Diferencial

Lo que cambia multiplicando

Hay cosas que cambian sumando lo mismo en cada paso y cosas que cambian multiplicando por lo mismo. Las segundas son las exponenciales. Míralo moverse antes de ver la fórmula.

Momento animado

El tinto que se enfría

$T = 20 + 65 \cdot 0{,}9^{t}$
Diferencia con la cocina

Etapa 1 de 5 · Recién servido

Dayana sirve un tinto a 85 °C en una cocina a 20 °C. Al comienzo, el tinto está 65 °C más caliente que la cocina: esa es la barra roja.

Concepto Clave

"Una exponencial multiplica por el mismo número en cada paso. Por eso, cuando ese número está entre 0 y 1, se acerca a su asíntota cada vez más despacio, sin llegar nunca."

Potencia vs. Exponencial

Hasta ahora hemos trabajado con funciones algebraicas donde la variable $x$ es la base, como $f(x) = x^2$ . Estas son funciones potencia.

Pero, ¿qué pasa si ponemos la $x$ en el exponente? Obtenemos una función exponencial, $f(x) = a \cdot b^{x}$ , con $a \neq 0$ , $b > 0$ y $b \neq 1$ . La base no puede ser negativa ( $(-2)^{1/2}$ no es un número real) ni 1 ( $1^x$ siempre vale 1).

Función Potencia

x^2

La base varía, el exponente es fijo.

Función Exponencial

2^x

La base es fija, el exponente varía.

Características clave de $y = b^x$ :

Dominio: $(-\infty, \infty)$ (Puedes elevar un número a cualquier potencia).
Rango: $(0, \infty)$ (Nunca tocan el 0 ni son negativas, a menos que las desplacemos).
Asíntota Horizontal: $y = 0$ (El eje X).
Punto Clave: Siempre pasan por $(0, 1)$ porque $b^0 = 1$ , y por $(1, b)$ .

Visualización Dinámica

Usa el deslizador para cambiar la base. Nota cómo si $0 < b < 1$ , la gráfica desciende (decaimiento), como la diferencia de temperatura del tinto.

Laboratorio

Laboratorio exponencial

Mueve la base $b$ y mira cómo cambia $f(x) = b^x$ . Con $b$ mayor que 1 crece; entre 0 y 1, decrece.

$f(x) = 2^x$
El punto $(1, 2)$
Siempre pasa por (0, 1)

Base,

b

b = 2

$f(0)$

2^0 = 1

$f(1)$

2^1 = 2

Con b = 2 > 1 la función crece: cada vez que x aumenta 1, la altura se multiplica por 2.

Paso a paso: una exponencial trasladada

Describe cómo se obtiene la gráfica de $g(x) = 2^{x-1} + 3$ a partir de la de $y = 2^x$ , y da su asíntota, su rango y su corte con el eje $y$ . (Ejemplo de la sección 11.2 del libro.)

1
Reconoce la básica y sus dos números
Es 2ˣ con un − 1 adentro, junto a la x, y un + 3 afuera. Son los movimientos de la lección 1.7.
$g(x) = 2^{\,x-1} + 3$
2
Adentro, − 1: se corre 1 a la derecha
Lo que 2ˣ hacía en x = 0 ahora pasa en x = 1: el punto (0, 1) va a (1, 1).
3
Afuera, + 3: sube 3, y la asíntota con ella
El punto (1, 1) llega a (1, 4). La asíntota pasa de y = 0 a y = 3.
4
Rango y corte con el eje y
Como 2ˣ⁻¹ siempre es positivo, g(x) siempre es mayor que 3: el rango es (3, ∞). Para el corte se evalúa en x = 0.
$g(0) = 2^{-1} + 3 = 0{,}5 + 3 = 3{,}5$

El Número e: La Base Natural

De todas las bases posibles, hay una que es la preferida del cálculo: el número de Euler, $e$ .

e \approx 2{,}71828\ldots

¿Por qué es especial en Cálculo?
Si graficas $y = e^x$ , la pendiente de la curva en cualquier punto es igual a la altura de la curva en ese punto. Salvo multiplicarla por una constante, es la única función igual a su propia derivada.

Definición como límite (interés compuesto continuo):

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

Ejercicios: ecuaciones, gráficas y modelos

Ecuación Exponencial con Cambio de Base

Resuelve para $x$ : $9^{x+1} = 27^{x-1}$

Cinética de Crecimiento Poblacional

Con $P(t) = 100 \cdot 2^{t/3}$ , ¿cuántas bacterias habrá a las 12 horas y qué significa el exponente?

Ejercicio 3: Una exponencial volteada

¿Cuáles son el rango y la asíntota de $g(x) = -2^{x} + 4$ ?

Ejercicio 4: Dos puntos bastan

La gráfica de $y = a \cdot b^{x}$ , con $b > 0$ , pasa por $(0, 3)$ y por $(2, 12)$ . ¿Cuánto valen $a$ y $b$ ?

Ejercicio 5: La batería del celular

Supongamos que en modo de espera la batería de un celular pierde el 4% de su carga cada hora. Si está al 100%, ¿qué carga le queda a las 24 horas?

Ejercicio 6 (tipo Saber 11): El tinto de Daniel

Daniel sirve un tinto a 90 °C en una cocina que está a 22 °C, y un minuto después mide 83,2 °C. Si cada minuto la diferencia con la cocina se multiplica por el mismo número, ¿qué modelo describe la temperatura $T$ a los $t$ minutos?