15. Funciones Exponenciales | Cálculo Diferencial

Potencia vs. Exponencial

Hasta ahora hemos trabajado con funciones algebraicas donde la variable $x$ es la base, como $f(x) = x^2$ . Estas son funciones potencia.

Pero, ¿qué pasa si ponemos la $x$ en el exponente? Obtenemos una Función Exponencial:

Función Potencia

x^2

La base varía, el exponente es fijo.

Función Exponencial

2^x

La base es fija, el exponente varía.

Características clave:

Dominio: $(-\infty, \infty)$ (Puedes elevar un número a cualquier potencia).
Rango: $(0, \infty)$ (Nunca tocan el 0 ni son negativas, a menos que las desplacemos).
Asíntota Horizontal: $y = 0$ (El eje X).
Punto Clave: Siempre pasan por $(0, 1)$ porque $b^0 = 1$ .

Visualización Dinámica

Usa el deslizador para cambiar la base. Nota cómo si $0 < b < 1$ , la gráfica desciende (decaimiento).

Laboratorio Exponencial

Explora cómo la base (b) controla la curva

Base (b)2

Crecimiento Exponencial (La función sube)

f(x) = 2^x

Nota: Siempre pasa por (0, 1)

f(x) = 2^x

El Número e: La Base Natural

De todas las bases posibles, hay una que es "la elegida" por la naturaleza para el cálculo: el número de Euler, $e$ .

e \approx 2.71828...

¿Por qué es especial en Cálculo?
Si graficas $y = e^x$ , la pendiente de la curva en cualquier punto es igual a la altura de la curva en ese punto. Es la única función cuya derivada es ella misma.

// Definición como límite (Interés Compuesto Continuo)

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

Práctica de Exponentes

Ejercicio Mecánico

Resuelve para $x$ igualando las bases:
$9^{x+1} = 27^{x-1}$

Ver Solución

1. Expresamos ambos lados con la misma base (base 3):

$9 = 3^2$ y $27 = 3^3$ .

2. Sustituimos en la ecuación:

$(3^2)^{x+1} = (3^3)^{x-1}$

3. Aplicamos propiedad de potencia de potencia (multiplicar exponentes):

$3^{2(x+1)} = 3^{3(x-1)}$

4. Igualamos los exponentes:

$2x + 2 = 3x - 3$

5. Despejamos $x$ :

$2 + 3 = 3x - 2x \Rightarrow x = 5$ .

PISA: Demografía

Una población de bacterias se duplica cada 3 horas. Inicialmente hay 100 bacterias. El modelo matemático que describe la población $P(t)$ después de $t$ horas es:
$P(t) = 100 \cdot 2^{t/3}$

Pregunta: Sin usar calculadora para logaritmos, ¿cuántas bacterias habrá exactamente a las 12 horas? Explica qué representa el exponente en ese momento.

Ver Análisis y Solución

1. Evaluación:

Sustituimos $t = 12$ en la fórmula:

$P(12) = 100 \cdot 2^{12/3}$

$P(12) = 100 \cdot 2^4$

$P(12) = 100 \cdot 16 = 1600$ bacterias.

2. Interpretación del exponente:

El exponente resultante fue 4.

Como las bacterias se duplican cada 3 horas, en 12 horas han pasado exactamente 4 periodos de duplicación ( $12 \div 3 = 4$ ).

Respuesta: 1600 bacterias.