14. Repaso de Trigonometría | Cálculo Diferencial

¿Por qué Radianes?

Momento animado

Del círculo a la onda

Etapa 1 de 4 · Un radián

En un círculo de radio 1, el ángulo

\theta

en radianes es lo que mide el arco. Un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio: unos 57,3°.

La función se llama seno, pero aquí se escribe sin x, como en la calculadora: la abreviatura viene del latín sinus. Si en el colegio la ves como «sen x», es la misma función.

En la escuela usamos grados (360° en un círculo) por razones históricas. Pero en Cálculo, los grados son un problema. Necesitamos una medida que relacione directamente la longitud del arco con el radio.

Un radián es el ángulo que se forma cuando la longitud del arco es igual al radio.

La Regla de Oro:

180^\circ = \pi \text{ radianes}

Advertencia de Cálculo:
Fórmulas como

(\sin x)' = \cos x

solo funcionan si

x

está en radianes. Si usas grados, aparece la constante

\pi/180

\frac{d}{dx}\sin(x^\circ) = \frac{\pi}{180}\cos(x^\circ)

Concepto Clave

"En este curso, si ves un ángulo sin símbolo de grados, ASUME que son radianes."

El Círculo Unitario y la Identidad Madre

Cualquier punto $(x, y)$ en el círculo unitario (radio 1) se define como $(\cos \theta, \sin \theta)$ .

Como la ecuación del círculo es $x^2 + y^2 = 1$ , obtenemos automáticamente la identidad más importante de todas:

\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1

De esta "Identidad Pitagórica" nacen otras dos (dividiendo todo por coseno o seno):

$\tan^2(\theta) + 1 = \sec^2(\theta)$
$1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta)$

Visualizando las Ondas

Si desenrollamos el círculo unitario a lo largo del eje X, obtenemos las funciones de onda. La forma general es $y = A \sin(Bx)$ .

Laboratorio

Sintetizador de ondas

Cambia la amplitud $A$ y la frecuencia $B$ . La zona sombreada es un periodo: lo que tarda la onda en repetirse.

$y = \sin(x)$
Altura máxima y mínima, $\pm A$
Un periodo

Amplitud,

A

A = 1

Frecuencia,

B

B = 1

Amplitud

La onda va de −A a A

Periodo

≈ 6,28

T = \tfrac{2\pi}{B} = \tfrac{2\pi}{1}

Con B = 1, la onda se repite cada 6,28 unidades del eje x (en radianes), así que en el tramo de 0 a 4π caben 2 ondas completas. A solo estira la onda hacia arriba y hacia abajo: no cambia el periodo.

Amplitud ( $A$ ): Altura desde el centro hasta el pico.

Periodo ( $T$ ): Cuánto tarda en repetirse un ciclo completo.
Fórmula: $T = \frac{2\pi}{B}$ .

Paso a paso: un modelo para la marea de Tumaco

El 4 de marzo de 2026, el CCCP pronosticó en Tumaco pleamares de 3,57 y 3,74 m y bajamares de 0,35 y 0,44 m. Arma un modelo $h(t) = A\sin(B(t - C)) + D$ con un ciclo de 12,42 horas (ejercicio de la sección 4.5 del libro; el desfase $C$ queda para después).

1
Toma un máximo y un mínimo
Usa el promedio de las pleamares como máximo y el de las bajamares como mínimo.
$\begin{gathered} \text{máx} = \frac{3{,}57 + 3{,}74}{2} = 3{,}655 \\ \text{mín} = \frac{0{,}35 + 0{,}44}{2} = 0{,}395 \end{gathered}$
2
La línea media está en la mitad
$D = \frac{3{,}655 + 0{,}395}{2} \approx 2{,}03 \text{ m}$
3
La amplitud es la mitad de la distancia
$A = \frac{3{,}655 - 0{,}395}{2} = 1{,}63 \text{ m}$
4
Un ciclo de la onda en 12,42 horas
$B = \frac{2\pi}{12{,}42} \approx 0{,}506$
5
Interpreta
El mar de Tumaco sube y baja 1,63 m alrededor de 2,03 m. Ojo: D no es el nivel medio del mar, sino la mitad entre las mareas de ese día.

Ejercicios: Ecuaciones Trigonométricas y Armónicos Oceánicos

Resolución en el Círculo Unitario

Resuelve $2\cos(x) + \sqrt{3} = 0$ en $[0, 2\pi]$ :

Modelado de Mareas y Ciclos Armónicos

Si $d(t) = 12 + 4\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$ , ¿cuál es la profundidad máxima y a qué horas ocurre pleamar?

Ejercicio 3: El periodo

¿Cuál es el periodo de $y = 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 5$ ?

Ejercicio 4: Armar una onda

Una función $y = A\sin(Bx) + D$ oscila entre $-2$ y 8 y tarda 10 unidades en repetirse. ¿Cuánto valen $D$ , $A$ y $B$ ?

Ejercicio 5 (tipo Saber 11): La marea de Buenaventura

En Buenaventura, la marea repite su ciclo cada 12,42 horas, más o menos. Si se modela con $h(t) = A\sin(Bt) + D$ , con $t$ en horas, ¿cuánto vale $B$ ?