14. Repaso de Trigonometría | Cálculo Diferencial

¿Por qué Radianes?

En la escuela usamos grados (360° en un círculo) por razones históricas. Pero en Cálculo, los grados son un problema. Necesitamos una medida que relacione directamente la longitud del arco con el radio.

Un radián es el ángulo que se forma cuando la longitud del arco es igual al radio.

La Regla de Oro:

180^\circ = \pi \text{ radianes}

Advertencia de Cálculo:
Fórmulas como

(sin \; x)' = cos \; x

solo funcionan si

x

está en radianes. Si usas grados, aparecen constantes feas.

Concepto Clave

"En este curso, si ves un ángulo sin símbolo de grados, ASUME que son radianes."

El Círculo Unitario y la Identidad Madre

Cualquier punto $(x, y)$ en el círculo unitario (radio 1) se define como $(\cos \theta, \sin \theta)$ .

Como la ecuación del círculo es $x^2 + y^2 = 1$ , obtenemos automáticamente la identidad más importante de todas:

\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1

De esta "Identidad Pitagórica" nacen otras dos (dividiendo todo por coseno o seno):

$\tan^2(\theta) + 1 = \sec^2(\theta)$
$1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta)$

Visualizando las Ondas

Si desenrollamos el círculo unitario a lo largo del eje X, obtenemos las funciones de onda. La forma general es $y = A \sin(Bx)$ .

Sintetizador de Ondas

Visualiza Amplitud y Periodo

Función Base

Amplitud (A)1

Estiramiento vertical

Frecuencia (B)1

Afecta el Periodo $T = 2\pi / B$

y = 1 \sin(1x)

Eje X en Radianes

Amplitud ( $A$ ): Altura desde el centro hasta el pico.

Periodo ( $T$ ): Cuánto tarda en repetirse un ciclo completo.
Fórmula: $T = \frac{2\pi}{B}$ .

Entrenamiento Trigonométrico

Ejercicio Mecánico

Encuentra todos los valores de $x$ en el intervalo $[0, 2\pi]$ que satisfacen la ecuación:
$2\cos(x) + \sqrt{3} = 0$

Ver Solución

1. Despejamos el coseno: $\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

2. Buscamos en el círculo unitario dónde la coordenada $x$ es negativa.

3. El ángulo de referencia es $\pi/6$ (30°).

4. El coseno es negativo en el Cuadrante II y III:

Cuadrante II: $\pi - \pi/6 = 5\pi/6$
Cuadrante III: $\pi + \pi/6 = 7\pi/6$

PISA: Oceanografía

La profundidad del agua $d(t)$ (en metros) en un puerto varía según la marea y se modela con la función:
$d(t) = 12 + 4\cos(\frac{\pi}{6}t)$
donde $t$ son las horas después de la medianoche ( $t=0$ ).

Pregunta: ¿Cuál es la profundidad máxima del puerto y a qué hora ocurre la primera pleamar (marea alta) después de la medianoche?

Ver Análisis y Solución

Profundidad Máxima:

El valor máximo de $\cos(u)$ es 1.

$d_{max} = 12 + 4(1) = 16$ metros.

Hora de la primera marea alta:

Necesitamos que $\cos(\frac{\pi}{6}t) = 1$ .

El coseno vale 1 cuando el ángulo es 0, $2\\pi$ , etc.

Para la primera vez: $\frac{\pi}{6}t = 0 \Rightarrow t = 0$ (Medianoche).

Para la siguiente: $\frac{\pi}{6}t = 2\pi \Rightarrow t = 12$ .

Respuesta: La marea está alta a las 0:00 (medianoche) y a las 12:00 (mediodía).