13. Funciones Racionales | Cálculo Diferencial

Cuando dividimos polinomios

Hasta ahora hemos visto funciones "suaves" y continuas. Pero, ¿qué pasa si dividimos un polinomio entre otro? Nace una Función Racional:

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

Aquí surge una regla sagrada de las matemáticas: No dividirás por cero. Esta prohibición crea "rompimientos" en la gráfica llamados asíntotas. Es como si la función chocara contra una pared invisible o aterrizara en un horizonte lejano.

Concepto Clave

"El dominio de una racional son TODOS los reales, EXCEPTO donde el denominador se hace cero."

La Pared Invisible (Asíntota Vertical)

Las asíntotas verticales (AV) ocurren donde el denominador $Q(x) = 0$ . Son valores de $x$ estrictamente prohibidos.

La gráfica NUNCA puede tocar ni cruzar una asíntota vertical.
A medida que te acercas a la pared, la función se dispara hacia $\infty$ o cae hacia $-\infty$ .

¡Cuidado! Si un factor se cancela arriba y abajo (ej:

\frac{x-1}{x-1}

), no hay asíntota vertical, sino un hueco en la gráfica.

El Horizonte (Asíntota Horizontal)

Las asíntotas horizontales (AH) nos dicen qué pasa con $y$ cuando $x$ es extremadamente grande. Para encontrarlas, comparamos el grado del numerador ( $n$ ) con el del denominador ( $m$ ).

Laboratorio de Asíntotas

Observa quién gana la "guerra de grados"

Escenario

Regla Clave:

El denominador gana. Cuando x es gigante, la función se hace diminuta.

f(x) = \frac{2}{x - 1}

Asíntota Horizontal: y = 0 (Eje X)

Caso 1:

n < m

Denominador gana

AH: y = 0

Caso 2:

n = m

Empate

AH: y = a/b

(División de coeficientes)

Caso 3:

n > m

Numerador gana

No hay AH

(Posible asíntota oblicua)

La Diagonal (Asíntota Oblicua)

Si el numerador gana por exactamente un grado ( $n = m + 1$ ), la función no se aplana, sino que sigue una línea diagonal inclinada en el infinito.

Para encontrar la ecuación de esta recta ( $y = mx + b$ ), debes realizar la división larga de polinomios y quedarte con el cociente (ignorando el residuo).

Práctica de Dominio y Asíntotas

Ejercicio 1: AnálisisDificultad Media

Analiza la función $f(x) = \frac{4x^2 - 1}{x^2 - 9}$ . Determina su Dominio, sus Asíntotas Verticales (AV) y su Asíntota Horizontal (AH).

Ver Solución

1. Dominio y AV (Denominador = 0):

$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) = 0$

El dominio es $\mathbb{R} - \{3, -3\}$ .

AV en $x = 3$ y $x = -3$ .

2. Asíntota Horizontal (Comparar grados):

Grado num ( $n=2$ ) = Grado den ( $m=2$ ).

Regla: División de coeficientes principales.

$y = \frac{4}{1} = 4$ .

PISA: Medicina

Se inyecta un medicamento a un paciente. La concentración del fármaco en la sangre (en mg/L) después de $t$ horas está modelada por:

C(t) = \frac{30t}{t^2 + 2}

Pregunta: Sin calcular valores específicos, ¿qué ocurrirá con la concentración del medicamento después de muchas horas (cuando $t \to \infty$ )? ¿Tiene sentido biológico este resultado? Justifica usando el concepto de asíntotas.

Ver Análisis y Solución

Análisis de Grados:
Numerador: Grado 1 ( $30t$ ).
Denominador: Grado 2 ( $t^2+2$ ).

Resultado Matemático:
Como $n < m$ (el denominador crece más rápido), la Asíntota Horizontal es $y = 0$ .

Interpretación: Con el paso del tiempo, la concentración del medicamento se acercará a 0. Esto tiene perfecto sentido biológico, ya que el cuerpo metaboliza y elimina el fármaco gradualmente hasta que desaparece de la sangre.

"Las asíntotas son los límites que nunca cruzamos, pero que definen nuestro camino."