13. Funciones Racionales | Cálculo Diferencial

Cuando dividimos polinomios

Momento animado

Repartir un costo fijo

Etapa 1 de 4 · El costo promedio

Una organización de recicladores paga $12.000.000 fijos al mes y $150.000 por cada tonelada que clasifica (datos hipotéticos). Si recibe

x

toneladas, cada una le sale en promedio a

\overline{C}(x) = 150\,000 + \frac{12\,000\,000}{x}

Hasta ahora hemos visto funciones "suaves" y continuas. Pero, ¿qué pasa si dividimos un polinomio entre otro? Nace una Función Racional:

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

Aquí surge una regla sagrada de las matemáticas: No dividirás por cero. Esta prohibición crea "rompimientos" en la gráfica llamados asíntotas. Es como si la función chocara contra una pared invisible o aterrizara en un horizonte lejano.

Concepto Clave

"El dominio de una racional son TODOS los reales, EXCEPTO donde el denominador se hace cero."

La Pared Invisible (Asíntota Vertical)

Las asíntotas verticales (AV) ocurren donde el denominador $Q(x) = 0$ . Son valores de $x$ estrictamente prohibidos.

La gráfica NUNCA puede tocar ni cruzar una asíntota vertical.
A medida que te acercas a la pared, la función se dispara hacia $\infty$ o cae hacia $-\infty$ .

¡Cuidado! Si un factor se cancela arriba y abajo (ej:

\frac{x-1}{x-1}

), no hay asíntota vertical, sino un hueco en la gráfica.

El Horizonte (Asíntota Horizontal)

Las asíntotas horizontales (AH) nos dicen qué pasa con $y$ cuando $x$ es extremadamente grande. Para encontrarlas, comparamos el grado del numerador ( $n$ ) con el del denominador ( $m$ ).

Laboratorio de Asíntotas

Observa quién gana la "guerra de grados"

Escenario

Regla Clave:

El denominador gana. Cuando x es gigante, la función se hace diminuta.

f(x) = \frac{2}{x - 1}

Asíntota Horizontal: y = 0 (Eje X)

Caso 1:

n < m

Denominador gana

AH: y = 0

Caso 2:

n = m

Empate

AH: y = a/b

(División de coeficientes)

Caso 3:

n > m

Numerador gana

No hay AH

(Posible asíntota oblicua)

La Diagonal (Asíntota Oblicua)

Si el numerador gana por exactamente un grado ( $n = m + 1$ ), la función no se aplana, sino que sigue una línea diagonal inclinada en el infinito.

Para encontrar la ecuación de esta recta ( $y = mx + b$ ), debes realizar la división larga de polinomios y quedarte con el cociente (ignorando el residuo).

Paso a paso: asíntotas, cortes y rango

Estudia $f(x) = \dfrac{2x - 4}{x + 1}$ (ejemplo de la sección 10.4 del libro).

1
Dominio y asíntota vertical
El denominador se anula en x = −1 y el numerador no.
$\text{Dom} = \mathbb{R} \setminus \{-1\}, \qquad x = -1$
2
Asíntota horizontal
Divide arriba y abajo entre x: con x muy grande, 4/x y 1/x casi valen 0.
$\frac{2x - 4}{x + 1} = \frac{2 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \to \frac{2}{1} = 2$
3
Cortes con los ejes
Con el eje x, donde el numerador vale 0; con el eje y, en f(0).
$\begin{gathered} 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \\ f(0) = -4 \end{gathered}$
4
¿Puede valer 2? El rango
La ecuación f(x) = 2 da 2x − 4 = 2x + 2, es decir, −4 = 2: falso. Nunca vale 2.
$\text{Rango} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$

Ejercicios: Dominio, Asíntotas y Farmacocinética

Dominio, Polos y Límites Horizontales

Determina dominio, AV y AH para $f(x) = \frac{4x^2 - 1}{x^2 - 9}$ :

Comportamiento Asintótico Farmacocinético

Con concentración $C(t) = \frac{30t}{t^2 + 2}$ , ¿qué ocurre cuando $t \to \infty$ ?

Ejercicio 3 (tipo Saber 11): Repartir el costo fijo

Una organización de recicladores tiene un costo promedio por tonelada de $\overline{C}(x) = 150\,000 + \frac{12\,000\,000}{x}$ pesos si recibe $x$ toneladas al mes (datos hipotéticos). ¿Cuántas toneladas tiene que recibir para que el promedio sea de 200.000 pesos?

Ejercicio 4: Las dos asíntotas

¿Cuáles son la asíntota vertical y la horizontal de $f(x) = \dfrac{2x - 4}{x + 1}$ ?

Ejercicio 5: ¿Asíntota o hueco?

¿Qué tiene la gráfica de $g(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ en $x = 3$ y en $x = -2$ ?

"Una asíntota vertical nunca se cruza; una horizontal describe lo que pasa lejos y, a veces, la gráfica sí la cruza."