12. Funciones Polinómicas | Cálculo Diferencial

Más allá de las rectas

Momento animado

De cerca, los factores; de lejos, el que manda

$f(x) = (x + 2)(x - 1)^2$

Etapa 1 de 4 · Los factores

Esta es

f(x) = (x + 2)(x - 1)^2

. Sus factores dicen dónde vale 0: en

x = -2

y en

x = 1

. Y en

x = 0

vale

2 \cdot 1 = 2

Las rectas y las parábolas son útiles, pero a veces el mundo es más complicado. Imagina diseñar una montaña rusa o predecir el mercado de valores. Necesitas curvas que puedan subir, bajar, volver a subir y dar vueltas suavemente.

Aquí entran los Polinomios. Matemáticamente, son funciones de la forma:

P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0

Suaves: No tienen esquinas (como el valor absoluto) ni picos afilados.
Continuos: No tienen huecos ni saltos (puedes dibujarlos sin levantar el lápiz).

Concepto Clave

"Un polinomio es una 'máquina de curvas suaves'. El exponente más alto (grado) te dice cuántas curvas puede tener."

El Término Principal dicta el Final

Cuando $x$ se hace enorme (hacia $\infty$ o $-\infty$ ), los términos pequeños dejan de importar. El término con el exponente más grande (el Término Principal $a_n x^n$ ) toma el control total.

Laboratorio de Polinomios

El "Término Principal" decide cómo empieza y termina la gráfica. Cambia los parámetros para ver el efecto.

Selecciona el Tipo:

f(x) = x^3 - x

Comportamiento: Empieza abajo, termina arriba (como subir una escalera).

Regla de Oro del Infinito

Si el grado $n$ es PAR, los extremos van en la misma dirección.
Si el grado $n$ es IMPAR, los extremos van en direcciones opuestas.

Los Giros y las Raíces

Mientras que el término principal controla los extremos, el grado del polinomio limita qué tanto puede "bailar" la función en el medio.

Puntos de Giro

Son los picos y valles (máximos y mínimos locales).

Un polinomio de grado $n$ tiene a lo sumo $n-1$ puntos de giro.

Ejemplo: Un polinomio de grado 5 puede girar máximo 4 veces.

Raíces (Ceros)

Son los cruces con el eje X.

Un polinomio de grado $n$ tiene a lo sumo $n$ raíces reales.

Nota: Si la raíz tiene multiplicidad par, "rebota". Si es impar, "cruza".

Paso a paso: esbozar con los factores

Esboza la gráfica de $f(x) = (x + 2)(x - 1)^2$ sin tabla (ejemplo de la sección 10.3 del libro).

1
Los ceros y su multiplicidad
x + 2 = 0 da −2, simple: la gráfica cruza. (x − 1)² = 0 da 1, doble: toca y se devuelve.
2
El término principal
Al multiplicar los términos de mayor grado de cada factor: x · x² = x³. Grado impar y coeficiente positivo: baja a la izquierda y sube a la derecha.
$f(x) = x^3 - 3x + 2$
3
El corte con el eje y
$f(0) = 2 \cdot (-1)^2 = 2$
4
El signo por tramos
Negativa antes de −2; positiva entre −2 y 1, y también después de 1, porque en 1 no cambia de signo.
5
Une los datos
Sube desde abajo, cruza en −2, pasa por (0, 2), baja a tocar el eje en 1 y vuelve a subir.

Ejercicios: Comportamiento Terminal y Modelos Polinómicos

Comportamiento Final y Puntos de Giro

Para $P(x) = -3x^5 + 2x^2 - 4$ , determina su comportamiento en los extremos y giros máximos:

Validez de Modelos Polinómicos a Largo Plazo

Con ganancias $G(t) = -0{,}1t^4 + 2t^3$ , ¿es viable predecir a 50 años según el comportamiento final?

Ejercicio 3: ¿Quién manda?

¿Cómo se comporta la gráfica de $f(x) = 5 + 2x - x^3$ en los extremos?

Ejercicio 4: Cortar o tocar

¿En qué ceros la gráfica de $f(x) = x^2(x - 3)^3(x + 1)$ toca el eje $x$ sin cruzarlo?

Ejercicio 5: ¿Cuántos ceros?

¿Cuántos ceros reales tiene $f(x) = x^3 + x$ ?