11. Modelos Lineales y Cuadráticos

Para modelar el mundo real en Cálculo, a menudo solo necesitamos dos herramientas básicas:

• El Modelo Lineal (La Rampa): Cuando algo cambia a velocidad constante. Cada paso que das sube la misma altura.
• El Modelo Cuadrático (La Moneda al aire): Cuando algo acelera, frena, da la vuelta y cae. Tiene un punto máximo o mínimo.

Una función lineal $f(x) = mx + b$ es la herramienta predilecta para predecir costos, distancias a velocidad constante o conversiones.

Las funciones cuadráticas $f(x) = ax^2 + bx + c$ son vitales por una razón: Tienen un pico (o valle).

En negocios, queremos maximizar ganancias (el pico de la montaña). En ingeniería, queremos minimizar costos (el fondo del valle). En ambos casos, buscamos el Vértice.

Paso a paso: de la forma general a la canónica

Para $f(x) = 2x^2 - 12x + 10$, encuentra el vértice, los ceros y el rango completando el cuadrado (ejemplo de la sección 10.2 del libro).

1. 1

   Saca el 2 de los dos primeros términos

   $$f(x) = 2(x^2 - 6x) + 10$$
2. 2

   Completa el cuadrado

   La mitad de 6 es 3 y 3² = 9: x² − 6x = (x − 3)² − 9.

   $$f(x) = 2\left[(x - 3)^2 - 9\right] + 10$$
3. 3

   Distribuye el 2 y suma

   El −9 queda multiplicado por 2: −18 + 10 = −8.

   $$f(x) = 2(x - 3)^2 - 8$$
4. 4

   Lee el vértice y el rango

   Como a = 2 > 0, la parábola abre hacia arriba: −8 es el valor mínimo.

   $$\begin{gathered} \text{Vértice } (3, -8) \\ \text{Rango } [-8, \infty) \end{gathered}$$
5. 5

   Encuentra los ceros

   2(x − 3)² = 8, así que (x − 3)² = 4 y x − 3 = ±2.

   $$x = 1 \quad\text{o}\quad x = 5$$